Feladat: F.2343 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ákosfai Z. ,  Alberti G. ,  Almássy T. ,  Beke S. ,  Böröczky K. ,  Csörgő T. ,  Hetyei G. ,  Holbok I. ,  Károlyi Gyula ,  Magyar Á. ,  Mikó Teréz ,  Mohai T. ,  Nagy 548 R. ,  Raffai Zs. ,  Simák Gy. ,  Szállási Z. ,  Tranta Beáta ,  Törőcsik J. ,  Virányi L. ,  Zieger B. 
Füzet: 1982/szeptember, 13 - 16. oldal  PDF file
Témakör(ök): Csonkakúp, Terület, felszín, Szögfüggvények a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/december: F.2343

Adott a síkban két különböző sugarú kör, nincs közös belső pontjuk. Sugaraik R, r, középpontjaik távolsága d. Külső hasonlósági pontjukon át megrajzoljuk egy szelőjüket, majd megforgatjuk az alakzatot a körök középpontjait összekötő egyenes körül. Tekintsük azt a két csonkakúppalástot, amelyeket a szelő által a körökből kimetszett húrok írnak le. Mekkora szöget zár be a szelő a forgástengellyel, amikor a palástfelszínek különbsége a legnagyobb?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltehetjük, hogy R>r. Jelöljük a körök külső hasonlósági pontját H-val, a nagyobb kör középpontját O-val, a kisebbét O'-vel, a szelő és az OH egyenes hajlásszögét α-val (1 ábra).

 

1. ábra
 

A szóban forgó két csonkakúp-palást hasonló (H középpontú nyújtással egymásba átvihetők), az egymásnak megfelelő lineáris méretek aránya megegyezik a körök sugarainak arányával, felszíneik aránya pedig e sugarak négyzeteinek arányával. Ha a nagyobb csonkakúp-palást felszíne P, akkor a kisebbé r2R2P, különbségük pedig R2-r2R2P. Látható, hogy ez akkor a legnagyobb, amikor P maga is a lehető legnagyobb. (R2-r2R2>0,állandó).
Fejezzük ki P-t α függvényeként. Legyenek a szelőnek az R sugarú körrel alkotott metszéspontjai A1, A2, ezekből az OH egyenesre bocsátott merőlegesek talppontjai C1, C2. A csonkakúp-palást felszínének ismert képlete szerint
P=π(A1C1+A2C2)A1A2.
Legyen még az O-ból a szelőre bocsátott merőleges talppontja (egyben az A1A2 húr felezőpontja) F, F-ből az OH egyenesre bocsátott merőleges talppontja pedig T.
FT az A1C1C2A2 derékszögű trapéz középvonala, így
A1C1+A2C2=2FT.
OFT=α, mivel merőleges szárú szögek, és mindkettő hegyesszög. Az OFT derékszögű háromszögben tehát
FT=OFcosα.


Másrészt az OHF derékszögű háromszögben
OF=OHsinα,
továbbá a körök hasonlósága alapján
OH-dOH=rR;
ahonnan
OH=dRR-r.
Ezek szerint
FT=dRR-rsinαcosα.
Az OA2F derékszögű háromszögben
A2F=R2-OF2=R2-d2R2(R-r)2sin2α.
Az A1A2 húr ennek kétszerese.
A kapott összefüggések alapján a palástfelszín:
P=4πd2R2(R-r)2sinαcosα(R-rd)2-sin2α.

Mivel P0, ezért P ugyanakkor maximális, amikor négyzetének pozitív konstans szorosa maximális. Elég tehát a
sin2αcos2α[(R-rd)2-sin2α]

kifejezést vizsgálnunk, amely a sin2α=x és (R-rd)2=a jelöléssel a következő alakot ölti:
x(1-x)(a-x)=x3-(a+1)x2+ax.

Az 1. ábráról leolvasható az a fontos észrevétel, hogy R-rd=sinβ ahol β a körök közös külső érintőinek az OH egyenessel alkotott hajlásszöge.
Hagyjuk most egy pillanatra figyelmen kívül x és a jelentését, és tekintsük a valós számokon értelmezett
f(x)=x3-(a+1)x2+ax
függvényt, ahol a 1-nél kisebb pozitív állandó. E függvénynek 3 valós zérus helye van, növekedő rendben: x1=0, x2=a, x3=1. És mivel x3 együtthatója pozitív, ezért a függvény grafikonjának jellege a 2. ábra szerinti.
 

2. ábra
 

Mivel azonban feladatunkban x=sin2α és a=sin2β továbbá 0αβ, azért e grafikonnak csak a 0 és a közé eső darabja ír le valóságos palástfelszín változást.
A felvetett kérdésre közel a válasz. Az f(x) függvény deriváltjának 0 és a közé eső zérushelyét kell megkeresnünk, abból x=sin2α alapján a keresett szög meghatározható.
f'(x)=3x2-2(a+1)x+a,
zérushelyei
x1=a+1-a2-a+13ésx2=a+1+a2-a+13.
Megmutatjuk, hogy 0<x1<a, és hogy x2>a. Az első állításhoz két irányból adunk becslést a gyökös kifejezésre:

egyrészt a2-a+1<a2+2a+1=a+1,

másrészt a2-a+1=(1-a)2+a>1-a(>0).
A másodikhoz pedig
x2>a+a+(1-a)2+a3>2a+a3>a,
hiszen 1>a. Ezek szerint x1 az a hely, amit keresünk.
Mindezek alapján a keresett szög:
x0=Arcsin(R-rd)2+1-(R-rd)4-(R-rd)2+13.

Arcsiny (olvasd: arkusz szinusz főérték y) azt a (radiánban mért) a szöget jelenti, amelyre sinα=y és -π2απ2.  (L. L.)
 

 Károlyi Gyula (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)