Feladat: F.2341 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Hetyei Gábor 
Füzet: 1982/május, 209. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Forgatva nyújtás, Paralelogrammák, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/december: F.2341

Adott az ABC háromszög és a síkjában a P pont. Vigye C-t E-be az az A centrumú forgatva nyújtás (vagyis A centrumú forgatás és ezt követő A centrumú nyújtás vagy zsugorítás), amelyik B-t P-be viszi. Vigye C‐t F-be az a B centrumú forgatva nyújtás, amelyik A-t viszi P-be. Bizonyítandó, hogy PE+PF=PC.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Felismerjük, hogy a vektorösszeadás szabálya értelmében azt kell bizonyítanunk, hogy a PECF négyszög paralelogramma, egyik átlója a PC eredő. Ezt a szemben levő oldalak egyenlőségéből igazoljuk.
Jelöljük az ABC háromszög oldalait a szokás szerint, a két forgatva nyújtás irányított szögét rendre BAP=δ-val, ABP=ε-nal, a nyújtásaik (ill. zsugorításaik) arányszámát m-mel, n-nel.
Első transzformációnk az ABC háromszöget a definíció szerint APE-be viszi át, és mivel AP=mAB=mc, valamint AE=mAC=mb, azért PE= =mBC=ma, mert a forgatva nyújtás hasonlósági transzformáció, hiszen a forgatás is, a nyújtás is bármely idomot hozzá hasonló idomba visz át, az APE képháromszög hasonló az ABC háromszöghöz.
Hasonlók az ABP és ACE háromszögek is, mert BAP=CAE=δ, és mert az A-ban összefutó oldalaik aránya BAP:AP=1:m=CA:AE. A megfelelő oldalpárok aránya BA:CA=c:b, ennélfogva harmadik oldalaikra CE=(b/c)BP.
Ugyanígy a második transzformáció alapján
BPFΔBACΔ, BP=nBA=nc, BF=nBC=na és PF=nAC= =nb, továbbá
BAPΔBCFΔ, mert ABP=CBF=ε és AB:BP=1:n=CB:BF, a megfelelő oldalpárok aránya AB:CB=c:a, ennélfogva harmadik oldalaikra CF=(a/c)AP.
Összekapcsolva a megfelelő részeredményeket

CF=acAP=acmc=ma=EPésCE=bcBP=bcnc=nb=PF,
azaz röviden CF=EP, valamint CE=PF, és ezt akartuk bizonyítani.
 

 

 Hetyei Gábor (Pécs, Leöwey K. Gimn., III. o. t.)