Feladat: F.2331 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Reviczki Zoltán 
Füzet: 1982/március, 116 - 117. oldal  PDF file
Témakör(ök): Terület, felszín, Térfogat, Szabályos testek, Feladat, Gömbi geometria
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/október: F.2331

Egy szabályos oktaéder csúcsait legömbölyítjük azzal a gömbbel, amely érinti a test összes élét. Mekkora a kapott test felszíne és térfogata?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindenekelőtt megvizsgáljuk, hogy a szóban forgó gömb (nevezzük röviden félig beírt gömbnek) valóban létezik-e, és egyértelműen meghatározott-e.
A szabályos oktaéder és a gömb is középpontosan szimmetrikus test. A félig beírt gömb középpontjának az oktaéder középpontjába kell esnie. Ha ugyanis ez nem így volna, akkor a félig beírt gömböt az oktaéder középpontjára tükrözve újabb félig beírt gömböt kapnánk, amely az előbbiből eltolással is megkapható. Az eltolás során azonban a gömb nem mozoghat az oktaéder minden élével párhuzamosan, így az újabb gömb mégsem lehetne félig beírt gömbje oktaéderünknek.
Ebből az következik, hogy az oktaéder középpontján átmenő bármely sík a keresett gömböt főkörben metszi. Ilyen síkok azok is, amelyek az oktaéder négy-négy élét tartalmazzák. Egy síkban levő négy él négyzetet alkot. A négyzetbe írt kör a gömb főköre. Jelöljük a-val az oktaéder éleinek hosszát. A félig beírt gömb sugara: R=a2.


 
1. ábra

Az oktaéder csúcsainak legömbölyítésével az oktaéder és a félig beírt gömb közös részéhez jutunk. Ezt kapjuk akkor is, ha a félig beírt gömbből eltávolítjuk az oktaéder lapjai által levágott gömbszeleteket (1. ábra). A szabályos oktaéder szimmetriája, alapján e gömbszeletek egybevágóak. A gömbszeletek alapkörei az oktaéder lapjainak beírt körei, sugaruk tehát: ϱ=a36.
A gömbszeletek magasságát olyan síkmetszetből határozhatjuk meg, amelynél a metsző sík egyben a gömbszelet szimmetriasíkja.
 

2. ábra

A 2. ábrán az oktaéder négy lapmagasságán átmenő síkmetszet látható. A metsző sík merőleges a gömbszeleteket levágó lapokra, és tartalmazza a gömb középpontját, tehát a gömbszeletek szimmetriasíkja. Az ábrán x-szel jelölt szakasz a lapok távolsága az oktaéder középpontjától, más szóval az oktaéderbe írható gömb sugara. Pitagorász tétele alapján :
x=R2-ϱ2=66a.
A gömbszeletek magassága:
m=R-x=3-66a.
A test felszínét úgy kapjuk, hogy a félig beírt gömb felszínéből a 8 levágott gömbszelet palástjának (gömbsüvegnek) felszínét levonjuk, alapköreik területét pedig a kapott értékhez hozzáadjuk. Így
F=4πR2-8(2πRm)+8πϱ2=π46-73a2(=a22,93).

A test térfogata úgy adódik, hogy a félig beírt gömb térfogatából a 8 levágott gömbszelet térfogatát levonjuk.
V=43πR3-8π3m2(3R-m)=π146-2754a3(=a30,4243).

(A gömbsüveg felszínének és a gömbszelet térfogatának kiszámításához felhasznált képletek megtalálhatók az iskolai függvénytáblázatban.) (L.L.)
 

 Reviczki Zoltán (Mezőkövesd, I. László Gimn., IV. o. t.)