Kezdőlap


Feladat:	F.2331	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Reviczki Zoltán
Füzet:	1982/március, 116 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Térfogat, Szabályos testek, Feladat, Gömbi geometria
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/október: F.2331

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindenekelőtt megvizsgáljuk, hogy a szóban forgó gömb (nevezzük röviden félig beírt gömbnek) valóban létezik-e, és egyértelműen meghatározott-e.
A szabályos oktaéder és a gömb is középpontosan szimmetrikus test. A félig beírt gömb középpontjának az oktaéder középpontjába kell esnie. Ha ugyanis ez nem így volna, akkor a félig beírt gömböt az oktaéder középpontjára tükrözve újabb félig beírt gömböt kapnánk, amely az előbbiből eltolással is megkapható. Az eltolás során azonban a gömb nem mozoghat az oktaéder minden élével párhuzamosan, így az újabb gömb mégsem lehetne félig beírt gömbje oktaéderünknek.
Ebből az következik, hogy az oktaéder középpontján átmenő bármely sík a keresett gömböt főkörben metszi. Ilyen síkok azok is, amelyek az oktaéder négy-négy élét tartalmazzák. Egy síkban levő négy él négyzetet alkot. A négyzetbe írt kör a gömb főköre. Jelöljük $a$ -val az oktaéder éleinek hosszát. A félig beírt gömb sugara: $R = \frac{a}{2}$ .

1. ábra

Az oktaéder csúcsainak legömbölyítésével az oktaéder és a félig beírt gömb közös részéhez jutunk. Ezt kapjuk akkor is, ha a félig beírt gömbből eltávolítjuk az oktaéder lapjai által levágott gömbszeleteket (1. ábra). A szabályos oktaéder szimmetriája, alapján e gömbszeletek egybevágóak. A gömbszeletek alapkörei az oktaéder lapjainak beírt körei, sugaruk tehát:

ϱ = \frac{a \sqrt[]{3}}{6}

.
A gömbszeletek magasságát olyan síkmetszetből határozhatjuk meg, amelynél a metsző sík egyben a gömbszelet szimmetriasíkja.

2. ábra

A 2. ábrán az oktaéder négy lapmagasságán átmenő síkmetszet látható. A metsző sík merőleges a gömbszeleteket levágó lapokra, és tartalmazza a gömb középpontját, tehát a gömbszeletek szimmetriasíkja. Az ábrán

x

-szel jelölt szakasz a lapok távolsága az oktaéder középpontjától, más szóval az oktaéderbe írható gömb sugara. Pitagorász tétele alapján :

\begin{matrix} x = \sqrt[]{R^{2} - ϱ^{2}} = \frac{\sqrt[]{6}}{6} a . \end{matrix}

A gömbszeletek magassága:

\begin{matrix} m = R - x = \frac{3 - \sqrt[]{6}}{6} a . \end{matrix}

A test felszínét úgy kapjuk, hogy a félig beírt gömb felszínéből a

8

levágott gömbszelet palástjának (gömbsüvegnek) felszínét levonjuk, alapköreik területét pedig a kapott értékhez hozzáadjuk. Így

\begin{matrix} F = 4 π R^{2} - 8 (2 π R m) + 8 π ϱ^{2} = π \frac{4 \sqrt[]{6} - 7}{3} a^{2} (= a^{2} \cdot 2, 93) . \end{matrix}

A test térfogata úgy adódik, hogy a félig beírt gömb térfogatából a

8

levágott gömbszelet térfogatát levonjuk.

\begin{matrix} V = \frac{4}{3} π R^{3} - 8 \cdot \frac{π}{3} m^{2} (3 R - m) = π \frac{14 \sqrt[]{6} - 27}{54} a^{3} (= a^{3} \cdot 0, 4243) . \end{matrix}

(A gömbsüveg felszínének és a gömbszelet térfogatának kiszámításához felhasznált képletek megtalálhatók az iskolai függvénytáblázatban.) (L.L.)

Reviczki Zoltán (Mezőkövesd, I. László Gimn., IV. o. t.)