Kezdőlap


Feladat:	F.2313	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csere Kálmán
Füzet:	1982/január, 14 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkidomok súlypontja, Poliéderek súlypontja, Tetraéderek, Feladat, Vektorok lineáris kombinációi, Térgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/április: F.2313

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $M$ az $A B$ él belső pontja. Jelölje $F$ a $D C$ szakasz felezőpontját.

A_{1}

és

B_{1}

rendre a

B F

, ill. az

A F

szakasz

F

-hez közelebb eső harmadolópontja.

Mivel az

A

A_{1}

M

pontok az

A B F

síkon vannak, és

M P

párhuzamos

A A_{1}

-gyel, ezért

P

is az

A B F

síkon van, közelebbről a

B F

szakaszon. Ehhez hasonlóan belátható, hogy

Q

A F

szakaszra esik.
Messe

M P

B B_{1}

szakaszt

P_{1}

-ben,

M Q

A A_{1}

-et

Q_{1}

-ben.
Tudjuk, hogy

A A_{1}

és

B B_{1}

metszéspontja

S

, továbbá hogy

S

e szakaszok

A_{1}

-hez, ill.

B_{1}

-hez közelebbi negyedelőpontja.
Mivel

B

középpontú kicsinyítéssel

A A_{1}

M P

-be, valamint

A

középpontú kicsinyítéssel

B B_{1}

M Q

-ba vihető át, melyek során

S

képe

P_{1}

, ill

Q_{1}

lesz, ezért

P_{1}

M P

szakasz

P

-hez közelebbi,

Q_{1}

pedig az

M Q

szakasz

Q

-hoz közelebbi negyedelőpontja. Más szóval

\begin{matrix} \vec{M P} = 4 / 3 \vec{M P_{1}} és \vec{M Q} = 4 / 3 \vec{M Q_{1}} . \end{matrix}

Viszont

\vec{M P_{1}} + \vec{M Q_{1}} = \vec{M S} (M P_{1} S Q_{1}

paralelogramma), ezért

\vec{M P}

és

\vec{M Q}

összege valóban

4 / 3 \vec{M S}

.
Ha

M

A B

él valamelyik végpontjával azonos, akkor az

\vec{M P}

és

\vec{M Q}

vektorok közül az egyik 0, a másik pedig tetraéderbeli súlyvonallal esik egybe, ezért a súlypontról mondottak alapján az állítás ebben az esetben is teljesül.

Csere Kálmán (Veszprém, Lovassy L. Gimn. IV. o. t.)