Feladat: F.2313 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csere Kálmán 
Füzet: 1982/január, 14 - 15. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkidomok súlypontja, Poliéderek súlypontja, Tetraéderek, Feladat, Vektorok lineáris kombinációi, Térgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/április: F.2313

Az ABCD tetraéder BCD és ACD lapjának súlypontja A1, ill. B1, az AB él egy pontja M. Legyen P az M-en átmenő AA1-gyel párhuzamos egyenesnek a BCD lappal való metszéspontja, Q pedig az M-en átmenő, BB1-gyel párhuzamos egyenesnek az ACD lappal való metszéspontja. Bizonyítandó, hogy az MP és MQ vektorok összege 4/3MS, ahol S a tetraéder súlypontja.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen M az AB él belső pontja. Jelölje F a DC szakasz felezőpontját.

 

Az A1 és B1 rendre a BF, ill. az AF szakasz F-hez közelebb eső harmadolópontja.

Mivel az A, A1, M pontok az ABF síkon vannak, és MP párhuzamos AA1-gyel, ezért P is az ABF síkon van, közelebbről a BF szakaszon. Ehhez hasonlóan belátható, hogy Q az AF szakaszra esik.
Messe MP a BB1 szakaszt P1-ben, MQ az AA1-et Q1-ben.
Tudjuk, hogy AA1 és BB1 metszéspontja S, továbbá hogy S e szakaszok A1-hez, ill. B1-hez közelebbi negyedelőpontja.
Mivel B középpontú kicsinyítéssel AA1 az MP-be, valamint A középpontú kicsinyítéssel BB1 az MQ-ba vihető át, melyek során S képe P1, ill Q1 lesz, ezért P1 az MP szakasz P-hez közelebbi, Q1 pedig az MQ szakasz Q-hoz közelebbi negyedelőpontja. Más szóval
MP=4/3MP1ésMQ=4/3MQ1.
Viszont MP1+MQ1=MS(MP1SQ1 paralelogramma), ezért MP és MQ összege valóban 4/3MS.
Ha M az AB él valamelyik végpontjával azonos, akkor az MP és MQ vektorok közül az egyik 0, a másik pedig tetraéderbeli súlyvonallal esik egybe, ezért a súlypontról mondottak alapján az állítás ebben az esetben is teljesül.
 

 Csere Kálmán (Veszprém, Lovassy L. Gimn. IV. o. t.)