Feladat: F.2278 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ákosfai Z. ,  Bognár P. ,  Böröczky K. ,  Csere K. ,  Feledi Gy. ,  Gulyás Gyula ,  Hetyei G. ,  Kapos L. ,  Károlyi Gy. ,  Kerényi I. ,  Megyesi G. ,  Mikó Teréz ,  Mohay T. ,  Molnár K. ,  Simonyi G. ,  Somogyi H. ,  Törőcsik J. ,  Weisz F. 
Füzet: 1981/április, 152 - 153. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nevezetes egyenlőtlenségek, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/november: F.2278

Az a1, a2, ..., a1980 számok mindegyike 1-1/1980 és 1+1/1980 közé esik. Mutassuk meg, hogy
(a1+...+a1980)(1a1+...+1a1980)1980419802-1.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(a1+...+a1980)(1a1+...+1a1980)1980419802-1.(1)

Megoldás. Jelöljük 1980-at n-nel, 1/n-et ε-nal. Mint látni fogjuk, nem lesz lényeges, hogy n értéke éppen mennyi. Legyen még k tetszés szerinti 1 és n közötti egész, és vegyük ki az a1,a2,...,an számok közül a k-adikat. Jelöljük ezt x-szel, a többiek összegét S-sel, a többiek reciprokának az összegét R-rel, az (1) bal oldalán álló kifejezés értékét K-val. Jelöléseink mellett
K=(S+x)(R+1x)=(Rx-Sx)2+(RS+1)2
(Közben felhasználtuk, hogy S, R és x pozitívak.) K második alakjából látható, hogy K értéke csak az
f(x)=Rx-Sx
függvényen keresztül függ x-től. Ez viszont monoton függvény, hiszen ha 0<x<y, akkor
f(y)-f(x)=(y-x)(R+Sxy)>0.

Esetünkben 1-εx1+ε, emiatt f(1-ε)f(x)f(1+ε). Válasszuk x-nek és vele együtt ak nak (1-ε) és (1+ε) közül azt, amelyik mellett f(1-ε) és f(1+ε) abszolút értéke a nagyobb. (Ha |f(1-ε)|=|f(1+ε)|, akkor mindegy, melyiket választjuk ak-nak.) Ha így változtatjuk meg ak értékét, K értéke biztosan nem csökken. Menjünk hát végig (tetszőleges sorrendben) az a1,a2,...,ak számokon, és mindegyiknek változtassuk meg az értékét vagy (1-ε)-ra, vagy (1+ε)-ra úgy, hogy ezzel K kezünkben levő aktuális értékét ne csökkentsük. Mint láttuk, ezt mindig meg tudjuk tenni. Az eljárásunk végén mindegyik ai új értéke vagy (1-ε) lesz, vagy (1+ε). Jelöljük az (1-ε)-nal egyenlő ai-k számát m-mel, az (1+ε)-nal egyenlőekét p-vel. Akkor m+p=n, és persze m és p közül az egyik 0 is lehet. Ezek mellett a kifejezés értéke legyen Kmp:
Kmp=[m(1-ε)+p(1+ε)][m1-ε+p1+ε]=n2-ε2(m-p)21-ε2.
Állításunk most már abból következik, hogy egyrészt KKmp, másrészt Kmpn2/(1-ε2)=n4/(n2-1).
Gulyás Gyula (Miskolc, Kilián Gy. Gimn., III. o. t.)
 

 

Megjegyzés. A számtani és a harmonikus középre vonatkozó egyenlőtlenség alapján belátható, hogy Kn2. Mivel n4/(n2-1)<n2+2, a két egyenlőtlenség együtt azt jelenti, hogy amíg az ai változókra |ai-1|ε teljesül, a K függvény értéke egy 2 szélességű sávon belül marad. Ez meglepőnek mondható, ha arra gondolunk, hogy K értéke és a változók száma milyen nagy, viszont mégsem annyira meglepő, hiszen ε értéke kicsi.