Kezdőlap


Feladat:	F.2261	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Benedek Ágnes , Csere K. , Csikós Zs. , Danyi P. , Elter J. , Feledi Gy. , Fritz P. , Heckenast L. , Horváth 302 A. , Kapos L. , Kappelmayer Hedvig , Kelemen B. , Kovács 134 I. , Megyeri L. , Mihálykó Cs. , Sz. Nagy Cs. , Szegedy P. , Szirmay L. , Takáts L. , Terenyi Z. , Öreg E. Zs.
Füzet:	1980/november, 131 - 132. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvénytranszformációk, Terület, felszín, Teljes indukció módszere, Különleges függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/május: F.2261

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a keresett terület $t_{n}$ . Az $n = 0, 1, 2$ értékekre felrajzolva az $f_{n}$ függvényt (1. ábra), láthatjuk, hogy $t_{0} = 0$ , $t_{1} = 1$ , $t_{2} = 7$ , továbbá az $a_{n} = n (n + 1) / 2$ jelölés mellett a következő állítás igaz $n = 0, 1, 2$ -re:

\begin{matrix} ha x \leq - a_{n}, akkor f_{n} (x) = - x - a_{n}, \\ ha - a_{n} < x < a_{n}, akkor 0 < f_{n} (x) \leq n; & (1) \\ ha a_{n} \leq x, akkor f_{n} (x) = x - a_{n} . \end{matrix}

1. ábra

2. ábra

Mivel

a_{n} - a_{n - 1} = n

és

f_{n} (x) = | f_{n - 1} (x) - n |

, azért ha az (1) állítás igaz

(n - 1)

-re, akkor igaz

n

-re is (2. ábra). Így a teljes indukció elve alapján (1) minden

n

-re teljesül. A 2. ábra alapján a

t_{n}

területet úgy kapjuk meg, hogy az

A D F E

trapéz területéből levonjuk annak az idomnak a területét, melyet az

f_{n}

függvénygörbe

E

és

F

pontok közti íve és az

E F

szakasz határol. De ez nem más, mint az

f_{n - 1}

görbe

B

és

C

közti ívének tükörképe az

y = n / 2

egyenesre, tehát a levonandó terület éppen

t_{n - 1}

. A trapéz területe

\begin{matrix} B E \frac{A D + E F}{2} = n (a_{n} + a_{n - 1}) = n^{3}, \end{matrix}

így

t_{n} = n^{3} - t_{n - 1}

. Ezt az összefüggést

n

helyett

(n - 1)

(n - 2)

...

értékekre felírva, majd váltakozó előjellel összeadva azt kapjuk, hogy páros

n

esetén

\begin{matrix} t_{n} = n^{3} - {(n - 1)}^{3} + {(n - 2)}^{3} + ... + 2^{3} - 1^{3} \end{matrix}

(2)

páratlan

n

esetén pedig

\begin{matrix} t_{n} = n^{3} - {(n - 1)}^{3} + {(n - 2)}^{3} + ... - 2^{3} + 1^{3} \end{matrix}

(3)

hiszen

t_{0} = 0

. Ezzel a feladatot megoldottuk.
Megjegyzés.

t_{n}

-re nemcsak a (2), illetve (3) alatti kifejezést, hanem zárt alakot is megadhatunk. Ehhez a következő azonosságból indulunk ki:

\begin{matrix} 8 n^{3} = [4 n^{3} + 6 n^{2} - 1] + [4 {(n - 1)}^{3} + 6 {(n - 1)}^{2} - 1] . \end{matrix}

Ezt összevetve a

8 n^{3} = 8 t_{n} + 8 t_{n - 1}

összefüggéssel, azt kapjuk, hogy a

8 t_{n} - [4 n^{3} + 6 n^{2} - 1] (n = 0, 1, 2, ...)

sorozat szomszédos tagjainak összege 0, s mivel a

8 t_{n} - 4 n^{3} + 6 n^{2} - 1

kifejezés értéke

n = 0

-ra

+ 1

, azért a sorozat tagjai felváltva

+ 1

, illetve

- 1

. Ebből kapjuk, hogy

8 t_{n} - [4 n^{3} + 6 n^{2} - 1] = {(- 1)}^{n}

, tehát

\begin{matrix} t_{n} = \frac{4 n^{3} + 6 n^{2} - 1 + {(- 1)}^{n}}{8} . \end{matrix}