|
Feladat: |
F.2261 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Benedek Ágnes , Csere K. , Csikós Zs. , Danyi P. , Elter J. , Feledi Gy. , Fritz P. , Heckenast L. , Horváth 302 A. , Kapos L. , Kappelmayer Hedvig , Kelemen B. , Kovács 134 I. , Megyeri L. , Mihálykó Cs. , Sz. Nagy Cs. , Szegedy P. , Szirmay L. , Takáts L. , Terenyi Z. , Öreg E. Zs. |
Füzet: |
1980/november,
131 - 132. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Függvénytranszformációk, Terület, felszín, Teljes indukció módszere, Különleges függvények, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1980/május: F.2261 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a keresett terület . Az értékekre felrajzolva az függvényt (1. ábra), láthatjuk, hogy , , , továbbá az jelölés mellett a következő állítás igaz -re:
1. ábra
2. ábra
Mivel és , azért ha az (1) állítás igaz -re, akkor igaz -re is (2. ábra). Így a teljes indukció elve alapján (1) minden -re teljesül. A 2. ábra alapján a területet úgy kapjuk meg, hogy az trapéz területéből levonjuk annak az idomnak a területét, melyet az függvénygörbe és pontok közti íve és az szakasz határol. De ez nem más, mint az görbe és közti ívének tükörképe az egyenesre, tehát a levonandó terület éppen . A trapéz területe így . Ezt az összefüggést helyett , , értékekre felírva, majd váltakozó előjellel összeadva azt kapjuk, hogy páros esetén | | (2) | páratlan esetén pedig | | (3) | hiszen . Ezzel a feladatot megoldottuk. Megjegyzés. -re nemcsak a (2), illetve (3) alatti kifejezést, hanem zárt alakot is megadhatunk. Ehhez a következő azonosságból indulunk ki: | | Ezt összevetve a összefüggéssel, azt kapjuk, hogy a sorozat szomszédos tagjainak összege 0, s mivel a kifejezés értéke -ra , azért a sorozat tagjai felváltva , illetve . Ebből kapjuk, hogy , tehát
|
|