Feladat: F.2261 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Benedek Ágnes ,  Csere K. ,  Csikós Zs. ,  Danyi P. ,  Elter J. ,  Feledi Gy. ,  Fritz P. ,  Heckenast L. ,  Horváth 302 A. ,  Kapos L. ,  Kappelmayer Hedvig ,  Kelemen B. ,  Kovács 134 I. ,  Megyeri L. ,  Mihálykó Cs. ,  Sz. Nagy Cs. ,  Szegedy P. ,  Szirmay L. ,  Takáts L. ,  Terenyi Z. ,  Öreg E. Zs. 
Füzet: 1980/november, 131 - 132. oldal  PDF file
Témakör(ök): Függvénytranszformációk, Terület, felszín, Teljes indukció módszere, Különleges függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/május: F.2261

Legyen f0(x)=|x|,f1(x)=|f0(x)-1|,f2(x)=|f1(x)-2|,...fn(x)=|fn-1(x)-n|. Az fn(x) függvény képének pontosan két közös pontja van az x tengellyel. Mekkora területű részt zár be ez a függvénygörbe és az x tengely egyenese ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a keresett terület tn. Az n=0,1,2 értékekre felrajzolva az fn függvényt (1. ábra), láthatjuk, hogy t0=0, t1=1, t2=7, továbbá az an=n(n+1)/2 jelölés mellett a következő állítás igaz n=0,1,2-re:

hax-an,akkorfn(x)=-x-an,ha-an<x<an,akkor0<fn(x)n;(1)haanx,akkorfn(x)=x-an.

 
 
1. ábra
 

 
 
2. ábra
 


Mivel an-an-1=n és fn(x)=|fn-1(x)-n|, azért ha az (1) állítás igaz (n-1)-re, akkor igaz n-re is (2. ábra). Így a teljes indukció elve alapján (1) minden n-re teljesül. A 2. ábra alapján a tn területet úgy kapjuk meg, hogy az ADFE trapéz területéből levonjuk annak az idomnak a területét, melyet az fn függvénygörbe E és F pontok közti íve és az EF szakasz határol. De ez nem más, mint az fn-1 görbe B és C közti ívének tükörképe az y=n/2 egyenesre, tehát a levonandó terület éppen tn-1. A trapéz területe
BEAD+EF2=n(an+an-1)=n3,
így tn=n3-tn-1. Ezt az összefüggést n helyett (n-1), (n-2), ... értékekre felírva, majd váltakozó előjellel összeadva azt kapjuk, hogy páros n esetén
tn=n3-(n-1)3+(n-2)3+...+23-13(2)
páratlan n esetén pedig
tn=n3-(n-1)3+(n-2)3+...-23+13(3)
hiszen t0=0. Ezzel a feladatot megoldottuk.
Megjegyzés. tn-re nemcsak a (2), illetve (3) alatti kifejezést, hanem zárt alakot is megadhatunk. Ehhez a következő azonosságból indulunk ki:
8n3=[4n3+6n2-1]+[4(n-1)3+6(n-1)2-1].
Ezt összevetve a 8n3=8tn+8tn-1 összefüggéssel, azt kapjuk, hogy a 8tn-[4n3+6n2-1](n=0,1,2,...) sorozat szomszédos tagjainak összege 0, s mivel a 8tn-4n3+6n2-1 kifejezés értéke n=0-ra +1, azért a sorozat tagjai felváltva +1, illetve -1. Ebből kapjuk, hogy 8tn-[4n3+6n2-1]=(-1)n, tehát
tn=4n3+6n2-1+(-1)n8.