Feladat: F.2256 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1980/november, 127. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/április: F.2256

Az ABC háromszög magasságpontja M, a magasságok talppontjai A1, B1, C1. Bizonyítsuk be, hogy az MA1, MB1 és MC1 szakaszok Thalész‐köreiből vett három körpárban a közös húrok egyenlő hosszúak.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az MA1 és MB1 átmérőjű körök M-től különböző közös pontját Nc-vel. Az MNcA1 és MNcB1 derékszögek csúcsa és egyik szára közös, így az NcA1, NcB1 szárak (félegyenesek) vagy egymás meghosszabbításai vagy azonosak; mindenesetre Nc az M pont vetülete az A1B1 egyenesen, és a kérdéses MNc húrhosszúság M-nek A1B1-től való távolsága.

 
 

Ebben az értelmezésben az állítás azt jelenti, hogy a magasságpont egyenlő távolságra van az A1, B1, C1 talppontok alkotta háromszög oldalegyeneseitől, más szóval, hogy M körül írható olyan kör, amely érinti a talpponti háromszög mindhárom oldalegyenesét.
Ez pedig következik abból az ismert tényből, hogy az MAMA1 magasságegyenes és a rá merőleges BC oldalegyenes felezik az A1B1 és A1C1 egyenesek közti szögeket. Konkrétan: ha az ABC háromszög hegyesszögű, akkor a talpponti háromszögre nézve M a három belső szögfelező metszéspontja, tompaszögű háromszögből indulva pedig a hozzáírt körök középpontjai közül az egyikkel azonos M.
Meggondolásunk eleje tárgytalan, ha az első két körnek nincs M-től különböző pontja. Ez akkor áll be, ha a háromszög C-nél levő szöge derékszög, hiszen ekkor C-be esik A1 és B1, valamint maga M is.