Feladat: F.2249 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Arató M. ,  Beleznay F. ,  Csikós Zs. ,  Czimmer Aranka ,  Énekes B. ,  Feledi Gy. ,  Fodor L. ,  Halász P. ,  Hátsági Zs. ,  Horváth 718 I. ,  Károlyi Gy. ,  Kiss 352 Gy. ,  Krähling János ,  Kurusa Á. ,  Németh G. ,  Ódor T. ,  Slenker Gy. ,  Sz. Nagy Cs. ,  Szegedy P. ,  Szirmay L. 
Füzet: 1980/szeptember, 12. oldal  PDF file
Témakör(ök): Indirekt bizonyítási mód, Kombinatorikus geometria síkban, Logikai feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/március: F.2249

Adott a síkon véges sok pont úgy, hogy nincs valamennyi egy egyenesen. A pontok mellé a 0, +1, -1 számok valamelyike van írva úgy, hogy az egy egyenesre eső pontokhoz írt számok összege minden esetben 0. Bizonyítsuk be, hogy ez csak akkor lehetséges, ha az összes pont mellett 0 van.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel nem minden pont esik egy egyenesbe, bármely ponton keresztül legalább két olyan egyenes húzható, melyek még más pontokra is illeszkednek. Tegyük fel, hogy nem mindegyik pont mellett áll 0, ebből ellentmondásra fogunk jutni. A pontok között kell lennie olyannak, amely mellett +1 áll. Tekintsük az ezen áthaladó egyeneseket. Ha ezek mindegyikén kivesszük a kiválasztott pontot és összeadjuk a többi pont mellé írt számot, (-1)-et kapunk. Ezeket összeadva, az eredmény -2 vagy annál kisebb. Ehhez adjuk még a kiválasztott pont melletti (+1)-et, ezzel az összes ponthoz írt szám összegét kapjuk, ami ezek szerint negatív.
Olyan pontnak is kell lennie, amely mellett -1 áll. Megismételve az előbbi gondolatmenetet, azt kapjuk, hogy a számok összege pozitív. Ellentmondásra jutottunk, tehát beláttuk a feladat állítását.