Feladat: F.2248 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Beleznay F. ,  Bohus G. ,  Csere K. ,  Csikós Zsolt ,  Dósa Gy. ,  Feledi Gy. ,  Fodor L. ,  Heckenast L. ,  Hegedüs T. ,  Horváth I. ,  Kapos L. ,  Károlyi Gy. ,  Kelemen B. ,  Király Z. ,  Kiss 352 Gy. ,  Kiss E. ,  Kovács 134 I. ,  Kurusa Á. ,  Madarász J. ,  Magyar Cs. ,  Megyeri L. ,  Mihálykó Cs. ,  Ódor T. ,  Simonyi G. ,  Sz. Nagy Cs. ,  Szegedy P. ,  Umann G. ,  Zsilinszky L. ,  Öreg E. Zs. 
Füzet: 1980/november, 124. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egészrész, törtrész függvények, Számsorozatok, Feladat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Rekurzív sorozatok
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/március: F.2248

Legyen n2 egész szám. Az x1, x2, ..., és az y1, y2, ..., sorozatokat a következő összefüggésekkel definiáljuk:
x1=n,y1=1;
xi+1=[xi+yi2],yi+1=[nxi+1],(i=1,2,...),
ahol [x] az x-nél nem nagyobb egész számok közül a legnagyobb. Bizonyítsuk be, hogy az x1, x2, ..., xn számok legkisebbike [n]-vel egyenlő.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bizonyítandó állítást két részre bontjuk. Először belátjuk, hogy a sorozatnak nincs [n]-nél kisebb tagja, azaz xi[n](i=1,2,...,n).
A feltételek szerint x1=n>[n], továbbá

xi+1=[xi+[nxi]2]=[xi+nxi2].
Itt felhasználtuk azt, hogy xi egész, így ha a számlálót egy 1-nél kisebb pozitív számmal (nxi törtrészével ) növeljük, a tört egész része nem változik. Az xi pozitív, így alkalmazhatjuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget:
xi+nxi2xinxi=n,
amiből az xi+1[n] állítást kapjuk, hiszen ha ab, akkor [a][b].
A bizonyítás második lépéseként belátjuk, hogy xi>[n] esetén xi+1<<xi. Ekkor ugyanis xi[n]+1>n, tehát xi>[nxi]. Ezt xi+1 definiáló összefüggésével egybevetve
xi+1=[xi+[nxi]2]<xi.
Tehát a sorozat mindaddig szigorúan monoton csökken, míg [n]-et nem éri el. Mivel egész számokból áll, ez legfeljebb n-[n] lépésben bekövetkezik.  (K. M.)
 

 Csikós Zsolt (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)