Kezdőlap


Feladat:	F.2248	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Beleznay F. , Bohus G. , Csere K. , Csikós Zsolt , Dósa Gy. , Feledi Gy. , Fodor L. , Heckenast L. , Hegedüs T. , Horváth I. , Kapos L. , Károlyi Gy. , Kelemen B. , Király Z. , Kiss 352 Gy. , Kiss E. , Kovács 134 I. , Kurusa Á. , Madarász J. , Magyar Cs. , Megyeri L. , Mihálykó Cs. , Ódor T. , Simonyi G. , Sz. Nagy Cs. , Szegedy P. , Umann G. , Zsilinszky L. , Öreg E. Zs.
Füzet:	1980/november, 124. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egészrész, törtrész függvények, Számsorozatok, Feladat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Rekurzív sorozatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/március: F.2248

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bizonyítandó állítást két részre bontjuk. Először belátjuk, hogy a sorozatnak nincs $[\sqrt[]{n}]$ -nél kisebb tagja, azaz $x_{i} \geq [\sqrt[]{n}] (i = 1, 2, ..., n)$ .
A feltételek szerint $x_{1} = n > [\sqrt[]{n}]$ , továbbá

\begin{matrix} x_{i + 1} = [\frac{x_{i} + [\frac{n}{x_{i}}]}{2}] = [\frac{x_{i} + \frac{n}{x_{i}}}{2}] . \end{matrix}

Itt felhasználtuk azt, hogy

x_{i}

egész, így ha a számlálót egy 1-nél kisebb pozitív számmal

(

\frac{n}{x_{i}}

törtrészével

) növeljük, a tört egész része nem változik. Az

x_{i}

pozitív, így alkalmazhatjuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} \frac{x_{i} + \frac{n}{x_{i}}}{2} \geq \sqrt[]{x_{i} \cdot \frac{n}{x_{i}}} = \sqrt[]{n}, \end{matrix}

amiből az

x_{i + 1} \geq [\sqrt[]{n}]

állítást kapjuk, hiszen ha

a \geq b

, akkor

[a] \geq [b]

.
A bizonyítás második lépéseként belátjuk, hogy

x_{i} > [\sqrt[]{n}]

esetén

x_{i + 1} < < x_{i}

. Ekkor ugyanis

x_{i} \geq [\sqrt[]{n}] + 1 > \sqrt[]{n}

, tehát

x_{i} > [\frac{n}{x_{i}}]

. Ezt

x_{i + 1}

definiáló összefüggésével egybevetve

\begin{matrix} x_{i + 1} = [\frac{x_{i} + [\frac{n}{x_{i}}]}{2}] < x_{i} . \end{matrix}

Tehát a sorozat mindaddig szigorúan monoton csökken, míg

[\sqrt[]{n}]

-et nem éri el. Mivel egész számokból áll, ez legfeljebb

n - [\sqrt[]{n}]

lépésben bekövetkezik. (K. M.)

Csikós Zsolt (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)