Feladat: F.2243 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Beleznay F. ,  Csere K. ,  Feledi G. ,  Fodor L. ,  Horváth I. ,  Kappelmayer Hedvig ,  Károlyi Gy. ,  Kelemen B. ,  Király Z. ,  Pöltl J. T. ,  Simonyi G. ,  Szegedy P. ,  Umann G. 
Füzet: 1981/január, 10. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenlőtlenségek, Kombinatorikus geometria, Feladat, Számsorozatok
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/február: F.2243

Az i, j, k rögzített pozitív egész számokat jelölnek. Az a1, a2, ..., an pozitív egész számok mindegyike kisebb, mint (i+1), továbbá van közöttük i darab, melyek kisebbek (j+1)-nél és van j darab, melyek kisebbek (k+1)-nél. Bizonyítsuk be, hogy az S=±a1±a2±...±an kifejezésben meg lehet választani az előjeleket úgy, hogy -kSk teljesüljön.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltehetjük, hogy a számok monoton növekedő sorozatba vannak rendezve. Ekkor a feltételek azt mondják ki, hogy az első j darab szám mindegyike legfeljebb k, az első i darab szám mindegyike legfeljebb j, és mindegyik szám kisebb (i+1)-nél.
Tekintsük a sorozat végéről mindazokat a tagokat, melyek j-nél is és i-nél is nagyobb indexűek. (Lehet, hogy egy ilyen tag sincsen.) Elsőként ezeknek választjuk meg az előjelét úgy, hogy S0 összegükre -iS0i teljesüljön. Ezt például a következőképpen tehetjük meg. Vegyük az utolsó számot pozitív előjellel, ez az első részletösszeg. Ettől kezdve a soron következő számot kivonjuk, ha a részletösszeg pozitív volt, és hozzáadjuk a megelőző részletösszeghez, ha az nulla vagy negatív volt.
Tekintsük most a fennmaradó számok közül az (i-j) darab legnagyobbat. (Ha ji, akkor egyetlen számot sem kell vennünk.) Ezek mindegyike legalább 1 és legfeljebb j így S0-ból rendre kivonogatva őket, ha S00, illetve S0-hoz rendre hozzáadva, ha S0<0, előbb-utóbb egy olyan részletösszeghez jutunk, mely abszolút értékben legfeljebb j. A kimaradókat pedig az előbb leírtakhoz hasonlóan előjelezhetjük úgy, hogy a kapott S1 részletösszegre -jS1j álljon fenn.
Maradt még j darab, k-nál nem nagyobb szám. Ezek mindegyike szintén legalább 1, tehát az S1 abszolút értékének csökkentésével eljuthatunk egy legfeljebb k abszolút értékű számhoz. Innen pedig a részletösszegeket -k és k között tudjuk tartani. Ezzel az állítást beláttuk.