|
Feladat: |
F.2243 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Beleznay F. , Csere K. , Feledi G. , Fodor L. , Horváth I. , Kappelmayer Hedvig , Károlyi Gy. , Kelemen B. , Király Z. , Pöltl J. T. , Simonyi G. , Szegedy P. , Umann G. |
Füzet: |
1981/január,
10. oldal |
PDF file |
Témakör(ök): |
Egyenlőtlenségek, Kombinatorikus geometria, Feladat, Számsorozatok |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1980/február: F.2243 |
|
Az , rögzített pozitív egész számokat jelölnek. Az , , , pozitív egész számok mindegyike kisebb, mint , továbbá van közöttük darab, melyek kisebbek -nél és van darab, melyek kisebbek -nél. Bizonyítsuk be, hogy az kifejezésben meg lehet választani az előjeleket úgy, hogy teljesüljön.
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Feltehetjük, hogy a számok monoton növekedő sorozatba vannak rendezve. Ekkor a feltételek azt mondják ki, hogy az első darab szám mindegyike legfeljebb , az első darab szám mindegyike legfeljebb , és mindegyik szám kisebb -nél. Tekintsük a sorozat végéről mindazokat a tagokat, melyek -nél is és -nél is nagyobb indexűek. (Lehet, hogy egy ilyen tag sincsen.) Elsőként ezeknek választjuk meg az előjelét úgy, hogy összegükre teljesüljön. Ezt például a következőképpen tehetjük meg. Vegyük az utolsó számot pozitív előjellel, ez az első részletösszeg. Ettől kezdve a soron következő számot kivonjuk, ha a részletösszeg pozitív volt, és hozzáadjuk a megelőző részletösszeghez, ha az nulla vagy negatív volt. Tekintsük most a fennmaradó számok közül az darab legnagyobbat. (Ha , akkor egyetlen számot sem kell vennünk.) Ezek mindegyike legalább és legfeljebb így -ból rendre kivonogatva őket, ha , illetve -hoz rendre hozzáadva, ha , előbb-utóbb egy olyan részletösszeghez jutunk, mely abszolút értékben legfeljebb . A kimaradókat pedig az előbb leírtakhoz hasonlóan előjelezhetjük úgy, hogy a kapott részletösszegre álljon fenn. Maradt még darab, -nál nem nagyobb szám. Ezek mindegyike szintén legalább , tehát az abszolút értékének csökkentésével eljuthatunk egy legfeljebb abszolút értékű számhoz. Innen pedig a részletösszegeket és között tudjuk tartani. Ezzel az állítást beláttuk.
|
|