Feladat: F.2236 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bali J. ,  Beleznay F. ,  Benedek Ágnes ,  Biczó Anikó ,  Bohus G. ,  Bölcsföldi L. ,  Csere K. ,  Csikós Zs. ,  Feledi Gy. ,  Fodor L. ,  Halász P. ,  Heckenast L. ,  Horányi T. ,  Horváth 718 I. ,  Kappelmayer Hedvig ,  Kelemen B. ,  Király Z. ,  Kiss 352 Gy. ,  Kiss E. ,  Mendrey Zs. ,  Sz. Nagy Cs. ,  Szakál A. ,  Szegedy P. ,  Tóth V. ,  Umann G. ,  Weisz F. ,  Zsilinszky L. 
Füzet: 1980/szeptember, 9 - 10. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Paraméteres egyenlőtlenségek, Műveletek helyvektorok koordinátáival, Ellipszis egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/január: F.2236

Igaz-e, hogy minden (x,y) valós számpárhoz találhatók olyan m és n egészek, amelyekre
(x-m)2+(y-n)(x-m)+(y-n)21/3.(1)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az A=x-m, B=y-n helyettesítéssel az (1) bal oldalán álló kifejezésből (A2+AB+B2)-t kapunk. Mivel ebben A2, B2 együtthatója egyenlő, alkalmas λ, μ együtthatók mellett [λ(A+B)2+μ(A-B)2] alakra hozható. Az együtthatók összehasonlításából kapjuk, hogy ekkor

λ+μ=1,λ-μ=1/2,
vagyis λ=3/4, μ=1/4. Ezek alapján (1) ekvivalens a
(3x+y2-3m+n2)2+3(3x-y2-3m-n2)21(2)
egyenlőtlenséggel, a mondott állítás pedig azzal, hogy tetszőleges
u=3x+y2,v=3x-y2(3)
valós számpárhoz találhatók olyan m és n egészek, hogy a koordináta‐rendszer P(u;v) pontjának a Q(a;b) ponttól mért távolsága legfeljebb 1, ahol
a=3m+n2,b=3m-n2.

 
 

A koordináta‐rendszerben az origóból a Q-ba mutató vektor (me+nf) alakú, ahol e és f az origóból az
E(32;32),F(32;-32)pontokba mutató vektor.
Könnyen látható, hogy az E, F pontok az O origóval együtt egy szabályos háromszög csúcsait adják, amelynek centruma a C(1;0) pont.
Ha n=0, a különböző m-ekhez tartozó Q pontok az OE egyenesen sorakoznak, ha pedig m=0, Q az OF egyenesen van. Általában pedig Q az OEGF paralelogrammából felépíthető rács valamelyik pontja, ahol G a (3;0) pont. Mivel ez az EF átlója mentén két szabályos háromszögre vágható szét, azt is mondhatjuk, hogy az OEF háromszöggel egybevágó lemezekkel fedjük le a síkot hézagtalanul és átfedés nélkül. A feladat pedig azt kérdezi, hogy a sík tetszőleges pontjában található-e olyan háromszög-csúcs, amelyiktől a pont legfeljebb egységnyi távolságra van. Mivel az O, E, F pontok körüli egységsugarú körök mind átmennek az OEF háromszög C centrumán, ezek együtt lefedik a háromszöget. Így a feladat kérdésére igen a helyes válasz.
 

Megjegyzések. A megoldás kulcsa a (3) alatti helyettesítés: ez viszi a (2) feltételnek eleget tevő tartományt körbe. Mivel a (3)-hoz hasonló ún. lineáris helyettesítések kört mindig ellipszisbe visznek, ez azt jelenti, hogy az
x2+xy+y21/3(4)
feltételnek eleget tevő pontok egy ellipszis-lemez pontjai. A feladat kérdése azt jelenti, hogy a különböző (m,n) centrumokhoz tartozó (4) alatti ellipszisek együtt lefedik-e a síkot. Beláthattuk volna ezt úgy is, hogy először megmutatjuk, hogy az
(13;13),(-13;23),(-23;13),(-13;-13),(13;-23),(23;-13)
pontok m=n=0 mellett benne vannak az (1) alatti tartományban, sőt az általuk meghatározott hatszög is e tartomány része, majd belátjuk, hogy ha e hatszög centrumát az (x;y) sík tetszőleges (m;n) pontjába áthelyezzük, a kapott hatszögek együtt lefedik a síkot.
2. Belátható, hogy a
c0x2+c1xy+c2y2c
feltételnek eleget tevő pontok akkor és csak akkor alkotnak egy ellipszislemezt, ha c0 és c2 pozitív, valamint 4c0c2>c12. Az ezzel egybevágó, különböző (m,n) centrumú ellipszisek akkor és csak akkor fedik a síkot, ha még
cc0c24c0c2-c12(c0+c2-|c1|)(5)
is teljesül. Így ha a c szám eleget tesz az (5) feltételnek, akkor minden (x,y) valós számpárhoz található olyan m és n egész, amelyikre
c0(x-m)2+c1(x-m)(y-n)+c2(y-n)2c
igaz.