Feladat: F.2229 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Beleznay F. ,  Benedek Ágnes ,  Berkes L. ,  Bogdán A. ,  Bohus Géza ,  Bölcsföldi L. ,  Csere K. ,  Csikós Zs. ,  Czakó F. ,  Énekes B. ,  Feledi Gy. ,  Fodor L. ,  Halász P. ,  Horváth I. (Debrecen) ,  Kántor Zs. ,  Kapos L. ,  Károlyi L. ,  Kiss 352 Gy. ,  Kiss E. ,  Kőnig L. ,  Kovács 134 I. ,  Kurusa Á. ,  Madarász J. ,  Ódor T. ,  Pöltl J. T. ,  Simonyi G. ,  Slenker Gy. ,  Sz. Nagy Cs. ,  Szabó 457 L. ,  Szegedy P. ,  Szirmai L. ,  Tóth V. ,  Umann G. ,  Zsilinszky L. 
Füzet: 1980/április, 153. oldal  PDF file
Témakör(ök): Indirekt bizonyítási mód, Számsorozatok, Feladat, Rekurzív sorozatok
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1979/december: F.2229

Az a1,a2,... pozitív tagú sorozatban an+12=an+1 minden n-re.
Bizonyítsuk be, hogy a sorozatnak van olyan tagja, amelyik nem racionális !

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy a bizonyítandó állítással ellentétben a sorozat tagjai mind racionális számok. Legyen an=pn/qn, ahol pn és qn egymáshoz relatív prím pozitív egészek. (Minden pozitív racionális szám egyértelműen írható fel ilyen alakban.) Az an+12=an+1 összefüggés szerint

pn+12qn+12=pn+qnqn.
Itt mindkét oldalon tovább nem egyszerűsíthető tört áll. A számlálók és a nevezők pozitívak, az egyértelműség tehát ezekre a törtekre is fennáll, ezért nevezőik szükségképpen megegyeznek:
qn+12=qnazazqn+1=qn1/2.
Ennek alapján
qn+1=(q1)12n,
tehát (q1)12n minden pozitív egész n-re egész szám. Ez csak úgy lehetséges, ha q1=1. Ebben az esetben qn=1 minden n-re, azaz a sorozat tagjai pozitív egész számok.
 

Ha a sorozat tagjai között előfordulna az 1, akkor az ezt követő tag 2 azaz irracionális lenne. Ha a sorozat tagjai között nem fordul elő 1, akkor
an2-an+12=an2-an-1=(an-2)(an+1)+1>0
alapján an+1<an. Ez viszont lehetetlen, hiszen pozitív egész számokból álló, szigorúan monoton csökkenő (végtelen) sorozat nem létezik. Ellentmondásra jutottunk, ami a feladat állítását igazolja.
 

 Bohus Géza (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)