Kezdőlap


Feladat:	F.2229	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Beleznay F. , Benedek Ágnes , Berkes L. , Bogdán A. , Bohus Géza , Bölcsföldi L. , Csere K. , Csikós Zs. , Czakó F. , Énekes B. , Feledi Gy. , Fodor L. , Halász P. , Horváth I. (Debrecen) , Kántor Zs. , Kapos L. , Károlyi L. , Kiss 352 Gy. , Kiss E. , Kőnig L. , Kovács 134 I. , Kurusa Á. , Madarász J. , Ódor T. , Pöltl J. T. , Simonyi G. , Slenker Gy. , Sz. Nagy Cs. , Szabó 457 L. , Szegedy P. , Szirmai L. , Tóth V. , Umann G. , Zsilinszky L.
Füzet:	1980/április, 153. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Indirekt bizonyítási mód, Számsorozatok, Feladat, Rekurzív sorozatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/december: F.2229

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy a bizonyítandó állítással ellentétben a sorozat tagjai mind racionális számok. Legyen $a_{n} = p_{n} / q_{n}$ , ahol $p_{n}$ és $q_{n}$ egymáshoz relatív prím pozitív egészek. (Minden pozitív racionális szám egyértelműen írható fel ilyen alakban.) Az $a_{n + 1}^{2} = a_{n} + 1$ összefüggés szerint

\begin{matrix} \frac{p_{n + 1}^{2}}{q_{n + 1}^{2}} = \frac{p_{n} + q_{n}}{q_{n}} . \end{matrix}

Itt mindkét oldalon tovább nem egyszerűsíthető tört áll. A számlálók és a nevezők pozitívak, az egyértelműség tehát ezekre a törtekre is fennáll, ezért nevezőik szükségképpen megegyeznek:

\begin{matrix} q_{n + 1}^{2} = q_{n} azaz q_{n + 1} = q_{n}^{1 / 2} . \end{matrix}

Ennek alapján

\begin{matrix} q_{n + 1} = {(q_{1})}^{\frac{1}{2^{n}}}, \end{matrix}

tehát

{(q_{1})}^{\frac{1}{2^{n}}}

minden pozitív egész

n

-re egész szám. Ez csak úgy lehetséges, ha

q_{1} = 1

. Ebben az esetben

q_{n} = 1

minden

n

-re, azaz a sorozat tagjai pozitív egész számok.

Ha a sorozat tagjai között előfordulna az 1, akkor az ezt követő tag

\sqrt[]{2}

azaz irracionális lenne. Ha a sorozat tagjai között nem fordul elő 1, akkor

\begin{matrix} a_{n}^{2} - a_{n + 1}^{2} = a_{n}^{2} - a_{n} - 1 = (a_{n} - 2) (a_{n} + 1) + 1 > 0 \end{matrix}

alapján

a_{n + 1} < a_{n}

. Ez viszont lehetetlen, hiszen pozitív egész számokból álló, szigorúan monoton csökkenő (végtelen) sorozat nem létezik. Ellentmondásra jutottunk, ami a feladat állítását igazolja.

Bohus Géza (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)