Nincs mit bizonyítani, ha az adott pontok száma $2$ vagy $3$. Akkor sem kell viszont $4$-nél több pontot egyidejűen tekintetbe vennünk, ha több pontunk van, hiszen $4$ pont határoz meg $2$ összekötő szakaszt, ha nincs közös végpontjuk (különben közös végpontra úgysem vonatkozik az állítás). És ha nem volna igaz az állítás, vagyis lehetne mutatni olyan (nem az adottak közül való) $P$ pontot, amely több szakasznak közös belső pontja, ehhez a cáfolathoz is elég lenne mutatni kettőt a $P$-n átmenő szakaszok közül.
Tegyük föl az állítással ellentétben, hogy $P$-n átmennek az $AB$ és $CD$ szakaszok, méghozzá úgy, hogy $AB$ az $AX$ távolságok legkisebbike, ahol $X$ végigfut az adott pontok halmazán, de $X\ne A$, és értelemszerűen ugyanígy $CD$ a $CX$ távolságok legkisebbike. (Arra viszont nem lesz szükségünk, hogy $B$-hez, $D$-hez mi a legközelebbi pont.)