Feladat: F.2210 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1979/november, 143. oldal  PDF file
Témakör(ök): Indirekt bizonyítási mód, Kombinatorikus geometria síkban, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1979/május: F.2210

Adott a síkban néhány pont úgy, hogy bármelyik kettő távolsága különböző. Bizonyítsuk be, hogy minden egyes pontot összekötve a legközelebbi szomszédjával, az így kapott szakaszoknak a végpontjukon kívül nincs közös pontjuk.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nincs mit bizonyítani, ha az adott pontok száma 2 vagy 3. Akkor sem kell viszont 4-nél több pontot egyidejűen tekintetbe vennünk, ha több pontunk van, hiszen 4 pont határoz meg 2 összekötő szakaszt, ha nincs közös végpontjuk (különben közös végpontra úgysem vonatkozik az állítás). És ha nem volna igaz az állítás, vagyis lehetne mutatni olyan (nem az adottak közül való) P pontot, amely több szakasznak közös belső pontja, ehhez a cáfolathoz is elég lenne mutatni kettőt a P-n átmenő szakaszok közül.
Tegyük föl az állítással ellentétben, hogy P-n átmennek az AB és CD szakaszok, méghozzá úgy, hogy AB az AX távolságok legkisebbike, ahol X végigfut az adott pontok halmazán, de XA, és értelemszerűen ugyanígy CD a CX távolságok legkisebbike. (Arra viszont nem lesz szükségünk, hogy B-hez, D-hez mi a legközelebbi pont.)

 
 

Föltevéseink szerint AB<AD és CD<CB, ennélfogva
AB+CD<AD+CB.(1)
Írjuk föl a háromszög-egyenlőtlenséget a PAD és PCB ,,háromszögek'' P-vel ,,szemben fekvő''oldalára:
ADAP+PD,CBCP+PB.(2)
Összeadva ezeket és kihasználva, hogy P belső pont:
AD+CB(AP+PB)+(CP+PD)=AB+CD,
ez pedig ellentmond (1)-nek.
Eszerint a P pont létezéséből levont két helyes következtetés nem egyeztethető össze, feltételezésünk tehát hibás volt. Ezzel meggyőződtünk arról, hogy az állítás igaz.
Megjegyzés. (2)-ben az egyenlőségek megengedését elkerülhettük volna további meggondolások árán, de a megengedés úgysem érinti az ellentmondást, mert (1)-ben szigorú egyenlőtlenség érvényes a föltevések alapján.