Feladat: F.2200 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bacsi Zsuzsanna ,  Beleznay F. ,  Benkó B. ,  Feledy Gy. ,  Gombás L. ,  Hajnal P. ,  Kántor Zs. ,  Kelemen B. ,  Kurusa Á. ,  Mala J. ,  Pintér 395 F. ,  Schwarcz P. ,  Sz. Nagy Cs. ,  Szabó E. ,  Umann G. ,  Varga Lívia ,  Varga T. ,  Winkler R. 
Füzet: 1979/november, 129 - 130. oldal  PDF file
Témakör(ök): Irracionális egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Műveletek helyvektorok koordinátáival, Vektorok lineáris kombinációi, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1979/április: F.2200

Milyen összefüggésnek kell fennállnia az a, b, c számok között, hogy az alábbi egyenletrendszernek legyen valós megoldása?
ax+by=cz,a1-x2+b1-y2=c1-z2.(1)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A d=-c jelöléssel (1) a következő alakba írható:

ax+by+dz=0,(2)a1-x2+b1-y2+d1-z2=0.(3)


Az egyenletrendszernek (3) szerint csak olyan x, y, z hármas lehet megoldása, amelyre -1x, y, z1. Ekkor vannak olyan 0α, β, yπ szögek, amelyekre cosα=x, cosβ=y, cosγ=z. Vezessük be a következő jelöléseket:
a=(acosα;asinα)b=(bcosβ;bsinβ)d=(dcosγ;dsinγ)


Ezek segítségével az egyenletrendszer az a+b+d=0 alakba írható, tehát a három vektornak egy háromszöget kell alkotnia. Így a valós számok körében való megoldhatóság szükséges feltétele, hogy teljesüljenek az a, b, d vektorokra a háromszög-egyenlőtlenségek, azaz mivel |a|=|a|, |b|=|b|, és |c|=|c|,
|a||b|+|c|,|b||a|+|c|,|c||a|+|b|.(4)
Ezenfelül (3) szerint a, b és d nem lehet azonos előjelű, vagy másképpen fogalmazva:
 

(5)a és b közül legalább az egyik előjele azonos kell legyen c előjelével.
 

Megmutatjuk, hogy a (4) és (5) feltételek elégségesek is. Tegyük fel, hogy a, b és c megfelel ezeknek. Feltesszük, hogy a a>0, c>0, a többi eset hasonlóan intézhető el. Szerkesszünk egy negatív körüljárású, esetleg elfajuló ABC háromszöget BC=|a|, AC=|b|, AB=|c| oldalakkal. Helyezzük el ezt egy derékszögű koordináta-rendszerben úgy, hogy C az origóba essen és BA párhuzamos legyen az x-tengellyel. A háromszög CB és CA oldalai α és γ szöget zárjanak be az x-tengely pozitív felével, ezekre 0α, γπ. Legyen továbbá β=0 vagy β=π aszerint, hogy b pozitív-e vagy sem. Könnyen látható, hogy az x=cosα, y=cosβ, z=cosγ gyökhármas kielégíti (1)-et.
 

 Varga Lívia (Zalaegerszeg, Ságvári E. Gimn., IV. o. t.)