|
Feladat: |
F.2200 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bacsi Zsuzsanna , Beleznay F. , Benkó B. , Feledy Gy. , Gombás L. , Hajnal P. , Kántor Zs. , Kelemen B. , Kurusa Á. , Mala J. , Pintér 395 F. , Schwarcz P. , Sz. Nagy Cs. , Szabó E. , Umann G. , Varga Lívia , Varga T. , Winkler R. |
Füzet: |
1979/november,
129 - 130. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Irracionális egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Műveletek helyvektorok koordinátáival, Vektorok lineáris kombinációi, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1979/április: F.2200 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A jelöléssel (1) a következő alakba írható:
Az egyenletrendszernek (3) szerint csak olyan , , hármas lehet megoldása, amelyre , , . Ekkor vannak olyan , , szögek, amelyekre , , . Vezessük be a következő jelöléseket:
Ezek segítségével az egyenletrendszer az alakba írható, tehát a három vektornak egy háromszöget kell alkotnia. Így a valós számok körében való megoldhatóság szükséges feltétele, hogy teljesüljenek az , , vektorokra a háromszög-egyenlőtlenségek, azaz mivel , , és , | | (4) | Ezenfelül (3) szerint , és nem lehet azonos előjelű, vagy másképpen fogalmazva:
(5) és közül legalább az egyik előjele azonos kell legyen előjelével. Megmutatjuk, hogy a (4) és (5) feltételek elégségesek is. Tegyük fel, hogy , és megfelel ezeknek. Feltesszük, hogy a , , a többi eset hasonlóan intézhető el. Szerkesszünk egy negatív körüljárású, esetleg elfajuló háromszöget , , oldalakkal. Helyezzük el ezt egy derékszögű koordináta-rendszerben úgy, hogy az origóba essen és párhuzamos legyen az -tengellyel. A háromszög és oldalai és szöget zárjanak be az -tengely pozitív felével, ezekre , . Legyen továbbá vagy aszerint, hogy pozitív-e vagy sem. Könnyen látható, hogy az , , gyökhármas kielégíti (1)-et.
Varga Lívia (Zalaegerszeg, Ságvári E. Gimn., IV. o. t.) |
|