Kezdőlap


Feladat:	F.2198	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Angyal T. , Beleznay F. , Bohus G. , Bukta Gy. , Bölcsföldi L. , Cseri I. , Csordás A. , Erdélyi T. , Gaál I. , Gát Gy. , Hajnal P. , Hátsági Zs. , Horváth 169 T. , Kiss 352 Gy. , Mala J. , Pátkai A. , Pintér 395 F. , Schwarcz P. , Sz. Nagy Cs. , Szegedy P. , Tálas Cs. , Valet B. , Varga J. , Winkler R.
Füzet:	1980/december, 212 - 213. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Térgeometriai bizonyítások, Feladat, Mértani közép
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/március: F.2198

A

B

C

D

pontok nincsenek egy síkban. A

P

R

S

T

pontok rendre az

A B

B C

C D

D A

egyeneseken vannak, továbbá az

O

pont olyan helyzetű, hogy

\begin{matrix} {O P}^{2} - P A \cdot P B = {O R}^{2} - R B \cdot R C = {O S}^{2} - S C \cdot S D = {O T}^{2} - T D \cdot T A \end{matrix}

(1)

közös nem negatív érték. Bizonyítandó, hogy

P

R

S

T

egy síkban vannak.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $A, B, C, D$ pontokon átmenő gömb középpontját $Q$ -val, sugarát $r$ -rel, az (1) alatti közös érték négyzetgyökét $ϱ$ -val. A szelő darabjaira vonatkozó tétel szerint (1) mindig igaz, ha benne $O$ helyére mindenütt $Q$ -t írunk, és $P$ , $R$ , $S$ , $T$ rendre az $A B, B C, C D, D A$ szakaszok meghosszabbításán levő pontok. Ebben az esetben az egyenlő kifejezések közös értéke $r^{2}$ . Állításunk emiatt csak akkor lehet igaz, ha $O$ nem azonos $Q$ -val, de még ebben az esetben is
‐ vagy azt kell feltennünk, hogy $P, R, S, T$ rendre az $A B, B C, C D, D A$ szakaszok meghosszabbításán levő pontok,
‐ vagy azt, hogy (1)-ben a $P A \cdot P B, R B \cdot R C, S C \cdot S D$ , $T D \cdot T A$ szakaszpárok szorzata előjelesen értendő, vagyis negatív abban az esetben, ha a szakaszok irányítása ellentétes.
Megmutatjuk, hogy kiegészítő feltételeink mellett $P, R, S, T$ valóban egy síkban vannak. Ha $O$ helyett $Q$ -t írunk, (1) a második esetben is igaz, tehát az $O, Q$ pontokra

\begin{matrix} {O X}^{2} - Q X^{2} = ϱ^{2} - r^{2} \end{matrix}

(2)

mindig teljesül, ha benne

X

helyére a

P, R, S, T

pontok egyikét írjuk. Tekintsük az

O, Q, X

pontok által meghatározott síkot, és vetítsük ebben az

O Q

egyenesre az

X

pontot. Jelöljük a vetületet

Y

-nal. A

ϱ

és

r

mennyiségek nagyságviszonyától függően ez az

O Q

szakasz

F

felezőpontjának

Q

-t vagy

O

-t tartalmazó oldalára kerül, és

\begin{matrix} O X^{2} - Q X^{2} = O Y^{2} - Q Y^{2} = {(O F + F Y)}^{2} - {(Q F + F Y)}^{2} = 2 O Q \cdot F Y \end{matrix}

miatt (2) az

F Y

távolságot egyértelműen meghatározza. Ha tehát a tér tetszőleges

X

pontjára teljesül (2), akkor

X

O Q

egyenesre annak a

ϱ^{2} - r^{2}

különbség által egyértelműen meghatározott

Y

pontjában emelt merőleges síkon van. A módosított állítást ezzel beláttuk.