|
Feladat: |
F.2198 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Angyal T. , Beleznay F. , Bohus G. , Bukta Gy. , Bölcsföldi L. , Cseri I. , Csordás A. , Erdélyi T. , Gaál I. , Gát Gy. , Hajnal P. , Hátsági Zs. , Horváth 169 T. , Kiss 352 Gy. , Mala J. , Pátkai A. , Pintér 395 F. , Schwarcz P. , Sz. Nagy Cs. , Szegedy P. , Tálas Cs. , Valet B. , Varga J. , Winkler R. |
Füzet: |
1980/december,
212 - 213. oldal |
PDF file |
Témakör(ök): |
Térgeometriai bizonyítások, Feladat, Mértani közép |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1979/március: F.2198 |
|
Az , , , pontok nincsenek egy síkban. A , , , pontok rendre az , , , egyeneseken vannak, továbbá az pont olyan helyzetű, hogy | | (1) | közös nem negatív érték. Bizonyítandó, hogy , , , egy síkban vannak.
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük az pontokon átmenő gömb középpontját -val, sugarát -rel, az (1) alatti közös érték négyzetgyökét -val. A szelő darabjaira vonatkozó tétel szerint (1) mindig igaz, ha benne helyére mindenütt -t írunk, és , , , rendre az szakaszok meghosszabbításán levő pontok. Ebben az esetben az egyenlő kifejezések közös értéke . Állításunk emiatt csak akkor lehet igaz, ha nem azonos -val, de még ebben az esetben is ‐ vagy azt kell feltennünk, hogy rendre az szakaszok meghosszabbításán levő pontok, ‐ vagy azt, hogy (1)-ben a , szakaszpárok szorzata előjelesen értendő, vagyis negatív abban az esetben, ha a szakaszok irányítása ellentétes. Megmutatjuk, hogy kiegészítő feltételeink mellett valóban egy síkban vannak. Ha helyett -t írunk, (1) a második esetben is igaz, tehát az pontokra mindig teljesül, ha benne helyére a pontok egyikét írjuk. Tekintsük az pontok által meghatározott síkot, és vetítsük ebben az egyenesre az pontot. Jelöljük a vetületet -nal. A és mennyiségek nagyságviszonyától függően ez az szakasz felezőpontjának -t vagy -t tartalmazó oldalára kerül, és | | miatt (2) az távolságot egyértelműen meghatározza. Ha tehát a tér tetszőleges pontjára teljesül (2), akkor az egyenesre annak a különbség által egyértelműen meghatározott pontjában emelt merőleges síkon van. A módosított állítást ezzel beláttuk.
|
|