Feladat: F.2198 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Angyal T. ,  Beleznay F. ,  Bohus G. ,  Bukta Gy. ,  Bölcsföldi L. ,  Cseri I. ,  Csordás A. ,  Erdélyi T. ,  Gaál I. ,  Gát Gy. ,  Hajnal P. ,  Hátsági Zs. ,  Horváth 169 T. ,  Kiss 352 Gy. ,  Mala J. ,  Pátkai A. ,  Pintér 395 F. ,  Schwarcz P. ,  Sz. Nagy Cs. ,  Szegedy P. ,  Tálas Cs. ,  Valet B. ,  Varga J. ,  Winkler R. 
Füzet: 1980/december, 212 - 213. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térgeometriai bizonyítások, Feladat, Mértani közép
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1979/március: F.2198

Az A, B, C, D pontok nincsenek egy síkban. A P, R, S, T pontok rendre az AB, BC, CD, DA egyeneseken vannak, továbbá az O pont olyan helyzetű, hogy
OP2-PAPB=OR2-RBRC=OS2-SCSD=OT2-TDTA(1)
közös nem negatív érték. Bizonyítandó, hogy P, R, S, T egy síkban vannak.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az A,B,C,D pontokon átmenő gömb középpontját Q-val, sugarát r-rel, az (1) alatti közös érték négyzetgyökét ϱ-val. A szelő darabjaira vonatkozó tétel szerint (1) mindig igaz, ha benne O helyére mindenütt Q-t írunk, és P, R, S, T rendre az AB,BC,CD,DA szakaszok meghosszabbításán levő pontok. Ebben az esetben az egyenlő kifejezések közös értéke r2. Állításunk emiatt csak akkor lehet igaz, ha O nem azonos Q-val, de még ebben az esetben is
‐ vagy azt kell feltennünk, hogy P,R,S,T rendre az AB,BC,CD,DA szakaszok meghosszabbításán levő pontok,
‐ vagy azt, hogy (1)-ben a PAPB,RBRC,SCSD, TDTA szakaszpárok szorzata előjelesen értendő, vagyis negatív abban az esetben, ha a szakaszok irányítása ellentétes.
Megmutatjuk, hogy kiegészítő feltételeink mellett P,R,S,T valóban egy síkban vannak. Ha O helyett Q-t írunk, (1) a második esetben is igaz, tehát az O,Q pontokra

OX2-QX2=ϱ2-r2(2)
mindig teljesül, ha benne X helyére a P,R,S,T pontok egyikét írjuk. Tekintsük az O,Q,X pontok által meghatározott síkot, és vetítsük ebben az OQ egyenesre az X pontot. Jelöljük a vetületet Y-nal. A ϱ és r mennyiségek nagyságviszonyától függően ez az OQ szakasz F felezőpontjának Q-t vagy O-t tartalmazó oldalára kerül, és
OX2-QX2=OY2-QY2=(OF+FY)2-(QF+FY)2=2OQFY
miatt (2) az FY távolságot egyértelműen meghatározza. Ha tehát a tér tetszőleges X pontjára teljesül (2), akkor X az OQ egyenesre annak a ϱ2-r2 különbség által egyértelműen meghatározott Y pontjában emelt merőleges síkon van. A módosított állítást ezzel beláttuk.