A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük az pontokon átmenő gömb középpontját -val, sugarát -rel, az (1) alatti közös érték négyzetgyökét -val. A szelő darabjaira vonatkozó tétel szerint (1) mindig igaz, ha benne helyére mindenütt -t írunk, és , , , rendre az szakaszok meghosszabbításán levő pontok. Ebben az esetben az egyenlő kifejezések közös értéke . Állításunk emiatt csak akkor lehet igaz, ha nem azonos -val, de még ebben az esetben is ‐ vagy azt kell feltennünk, hogy rendre az szakaszok meghosszabbításán levő pontok, ‐ vagy azt, hogy (1)-ben a , szakaszpárok szorzata előjelesen értendő, vagyis negatív abban az esetben, ha a szakaszok irányítása ellentétes. Megmutatjuk, hogy kiegészítő feltételeink mellett valóban egy síkban vannak. Ha helyett -t írunk, (1) a második esetben is igaz, tehát az pontokra mindig teljesül, ha benne helyére a pontok egyikét írjuk. Tekintsük az pontok által meghatározott síkot, és vetítsük ebben az egyenesre az pontot. Jelöljük a vetületet -nal. A és mennyiségek nagyságviszonyától függően ez az szakasz felezőpontjának -t vagy -t tartalmazó oldalára kerül, és | | miatt (2) az távolságot egyértelműen meghatározza. Ha tehát a tér tetszőleges pontjára teljesül (2), akkor az egyenesre annak a különbség által egyértelműen meghatározott pontjában emelt merőleges síkon van. A módosított állítást ezzel beláttuk. |