Feladat: F.2177 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bene Gy. ,  Benkő B. ,  Beró Éva ,  Bohus G. ,  Bölcsföldi L. ,  Csákány Anikó ,  Erdélyi T. ,  Fischer P. ,  Gát Gy. ,  Kántor S. ,  Kántor Zs. ,  Kiss 352 Gy. ,  Márkus R. ,  Nagy 647 G. ,  Pátkai Andrea ,  Pintér 395 F. ,  Schwarcz P. ,  Stark A. ,  Sz. Nagy Cs. ,  Szabó 457 L. ,  Szegedy P. ,  Szendrei Gy. ,  Tóth T. ,  Umann G. ,  Varga T. ,  Winkler R. 
Füzet: 1979/április, 159 - 160. oldal  PDF file
Témakör(ök): Függvényegyenletek, Algoritmikus eljárások, Feladat, Különleges függvények
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/december: F.2177

Van-e olyan f függvény, amelyik az egész számokon van értelmezve, ezekhez egészeket rendel, és f(f(n))=n2 minden egész n-re?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Létezik ilyen f függvény, ennek bizonyítására elegendő egyetlen ilyet megadnunk. Legyen f(0)=0, f(1)=1 és f(-n)=f(n), ha n1. Mielőtt f-et pozitív argumentumokra definiálnánk, legyenek a1<b1<a2<b2<... az összes nem-négyzetszámok (azaz a1=2, b1=3, a2=5 stb.). Minden n>1 egész szám egyértelműen írható fel ai2k vagy bi2k alakban (k=0,1,...), hiszen ha n nem négyzetszám, akkor vagy az ai, vagy a bi számok között szerepel (és ekkor k=0). Ha pedig n négyzetszám, akkor ismételten négyzetgyököt vonva előbb-utóbb nem-négyzetszámhoz jutunk.
Legyen f(ai)=bi, f(bi)=ai2, f(ai2)=bi2, általában

f(ai2k)=bi2késf(bi2k=ai2k+1(k=0,1,2,...)(1)
Evvel előbbi megjegyzésünk értelmében f(n)-et minden n-re definiáltuk. Igazoljuk még, hogy f(f(n))=n2. Ha n=0 vagy 1, akkor ez nyilvánvaló. Ha n2, akkor vagy n=ai2k valamilyen i-re és k-ra, vagy n=bi2k. Az előbbi esetben (1) szerint
f(f(n))=f(bi2k)=ai2k+1=(ai2k)2=n2,
míg a másik esetben ehhez hasonlóan
f(f(n))=f(ai2k+1)=bi2k+1=(bi2k)2=n2.
Végül ha n<0, akkor
f(f(n))=f(f(-n))=(-n)2=n2,
amivel a feladat megoldását befejeztük.