Létezik ilyen $f$ függvény, ennek bizonyítására elegendő egyetlen ilyet megadnunk. Legyen $f\left(0\right)=0$, $f\left(1\right)=1$ és $f\left(-n\right)=f\left(n\right)$, ha $n\ge 1$. Mielőtt $f$-et pozitív argumentumokra definiálnánk, legyenek $a_1<b_1<a_2<b_2<\text{...}$ az összes nem-négyzetszámok (azaz $a_1=2$, $b_1=3$, $a_2=5$ stb.). Minden $n>1$ egész szám egyértelműen írható fel $a_i^{2^k}$ vagy $b_i^{2^k}$ alakban $\left(k=\mathrm{0,}\mathrm{1,}\text{...}\right)$, hiszen ha $n$ nem négyzetszám, akkor vagy az $a_i$, vagy a $b_i$ számok között szerepel (és ekkor $k=0$). Ha pedig $n$ négyzetszám, akkor ismételten négyzetgyököt vonva előbb-utóbb nem-négyzetszámhoz jutunk.
Legyen $f\left(a_i\right)=b_i$, $f\left(b_i\right)=a_i^2$, $f\left(a_i^2\right)=b_i^2$, általában