Kezdőlap


Feladat:	F.2174	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1979/április, 156 - 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglatest, Térfogat, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/november: F.2174

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a $T$ téglatest alap- és fedőlapja $A B C D$ , ill. $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , továbbá a kiszemelt élek $A B$ és $A_{1} D_{1}$ . Az élszakaszok minimális távolságösszeget adó pontjának kijelölése egyszerű a kiszemeltekkel párhuzamos éleken (ezeket magukat is beleértve), hiszen az ilyen szakaszok mentén az egyik távolság állandó. Így az
$A B$ , $A_{1} B_{1}$ , $D_{1} C_{1}$ , $D C$ , valamint $A_{1} D_{1}$ , $A D$ , $B C$ , $B_{1} C_{1}$ élszakasz kívánt pontja nyilvánvalóan az elsőnek írt végpont.

Ezzel

T

-nek már

6

csúcsát kijelöltük, és ezek alkalmas páronként éppen a harmadik irányú élszakaszok közül

3

-nak a végpontjai. Így ‐ ha csupán a kívánt

K

test meghatározására törekszünk ‐, az

A A_{1}

B B_{1}

és

D D_{1}

élen nincs is mit keresnünk, bármely belső pontjuk adódnék is, az a konvexség miatt már hozzátartoznék

K

-hoz és nem is lenne valódi csúcs. Azt is látjuk, hogy a még nem tekintett

C C_{1}

szakaszon bármely

C^{*}

pontra adódik is a minimális összeg,

K

mindenképpen úgy áll elő

T

-ből, hogy levágjuk belőle

C

-t és

C_{1}

-et, pontosabban a

C C^{*} B D

és

C_{1} C^{*} B_{1} D_{1}

gúlákat. Ezek "vízszintes'' lapjai egybevágók, magasságaik összege

C C_{1}

, térfogatuk összege

C B \cdot C D \cdot {C C}_{1} / 6

, ami a

T

térfogatának

1 / 6

része. Így

K

térfogata a

T

térfogatának

5 / 6

része.
A teljesség kedvéért mégis meghatározzuk

C^{*}

-ot is. Nyilvánvaló, hogy a kijelölt éleken

B

-től, ill.

D_{1}

-től kell mérnünk a távolságokat. Síkbelivé alakítjuk feladatunkat avval, hogy a

B C C_{1} B_{1}

lapot

C C_{1}

körül belefordítjuk a

D_{1} C_{1} C D

lap meghosszabbításába, ekkor a

B

új helyzetét,

B_{2}

-t

D_{1}

-gyel összekötő szakasz metszi ki

C^{*}

-ot, mert minden más

C'

pontra a háromszög-egyenlőtlenség alapján

B_{2} C' + C' D_{1} > B_{2} D_{1} = B_{2} C^{*} + C^{*} D_{1}

Megjegyzés. Nem volt szükségünk annak felhasználására, hogy

T

élei

3

-féle hosszúságúak; legföljebb azt zárta ez ki, hogy pl.

C B = C D

esetén azonnal kimondhassuk:

C^{*}

felezi

C C_{1}

-et, és hogy ez akkor se legyen lehetséges, ha más élpárt szemelünk ki.