Feladat: F.2174 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1979/április, 156 - 157. oldal  PDF file
Témakör(ök): Téglatest, Térfogat, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/november: F.2174

Egy téglatest egy csúcsába összefutó 3 éle különböző hosszúságú. Kiszemeljük egy kitérő élpárját, majd mind a 12 élszakaszon megkeressük azt a pontot, amelyre nézve a kiszemelt élektől való távolságok összege minimális. Mennyi annak a konvex testnek a térfogata, melynek csúcsai az így talált pontok?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a T téglatest alap- és fedőlapja ABCD, ill. A1B1C1D1, továbbá a kiszemelt élek AB és A1D1. Az élszakaszok minimális távolságösszeget adó pontjának kijelölése egyszerű a kiszemeltekkel párhuzamos éleken (ezeket magukat is beleértve), hiszen az ilyen szakaszok mentén az egyik távolság állandó. Így az
AB, A1B1, D1C1, DC, valamint A1D1, AD, BC, B1C1 élszakasz kívánt pontja nyilvánvalóan az elsőnek írt végpont.

 


 
Ezzel T-nek már 6 csúcsát kijelöltük, és ezek alkalmas páronként éppen a harmadik irányú élszakaszok közül 3-nak a végpontjai. Így ‐ ha csupán a kívánt K test meghatározására törekszünk ‐, az AA1, BB1 és DD1 élen nincs is mit keresnünk, bármely belső pontjuk adódnék is, az a konvexség miatt már hozzátartoznék K-hoz és nem is lenne valódi csúcs. Azt is látjuk, hogy a még nem tekintett CC1 szakaszon bármely C* pontra adódik is a minimális összeg, K mindenképpen úgy áll elő T-ből, hogy levágjuk belőle C-t és C1-et, pontosabban a CC*BD és C1C*B1D1 gúlákat. Ezek "vízszintes'' lapjai egybevágók, magasságaik összege CC1, térfogatuk összege CBCDCC1/6, ami a T térfogatának 1/6 része. Így K térfogata a T térfogatának 5/6 része.
A teljesség kedvéért mégis meghatározzuk C*-ot is. Nyilvánvaló, hogy a kijelölt éleken B-től, ill. D1-től kell mérnünk a távolságokat. Síkbelivé alakítjuk feladatunkat avval, hogy a BCC1B1 lapot CC1 körül belefordítjuk a D1C1CD lap meghosszabbításába, ekkor a B új helyzetét, B2-t D1-gyel összekötő szakasz metszi ki C*-ot, mert minden más C' pontra a háromszög-egyenlőtlenség alapján B2C'+C'D1>B2D1=B2C*+C*D1.
 

Megjegyzés. Nem volt szükségünk annak felhasználására, hogy T élei 3-féle hosszúságúak; legföljebb azt zárta ez ki, hogy pl. CB=CD esetén azonnal kimondhassuk: C* felezi CC1-et, és hogy ez akkor se legyen lehetséges, ha más élpárt szemelünk ki.