Feladat: F.2167 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1979/február, 66. oldal  PDF file
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/október: F.2167

Adottak a sík A,B,C,D pontjai, és tudjuk, hogy A',B',C',D' olyan pontok ugyanebben a síkban, amelyekre A'B'=AB,B'C'=BC,C'D'=CD,D'A'=DA. Bizonyítandó, hogy ha AC merőleges BD-re, akkor A'C' merőleges B'D'-re.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ABCD pontrendszerben az AC és BD egyenesek merőlegesek, így M metszéspontjuknál 4 derékszögű háromszög keletkezik. Az AB és CD átfogók négyzetét Pitagorasz tétele szerint fölírva, az AM, BM, CM és DM befogók négyzetét 1-szer‐1-szer használjuk föl, és ugyanez áll a másik átfogópár: BC és DA négyzetében; ennélfogva

AB2+CD2=BC2+DA2.

A vesszős pontnégyes oldalaira közölt egyenlőségek szerint abban is teljesül
A'B'2+C'D'2=B'C'2+D'A'2.(1)

Tegyük koordináta-rendszerünk x tengelyét az A'C' egyenesre, és legyenek pontjaink koordinátái: A'(a,0), B'(x1,y1), C'(c,0), D'(x2,y2). Ezekkel (1)-ből:
(x1-a)2+y12+(x2-c)2+y22=(x1-c)2+y12+(x2-a)2+y22,
rendezés után
(a-c)(x2-x1)=0.

Mivel A' és C' különböző pontok (különben az A'C' egyenes határozatlan), azért a-c0, tehát x2-x1=0, azaz x2=x1. Eszerint a B'D' egyenes párhuzamos az y tengellyel, vagyis merőleges A'C'-re. Ezt kellett bizonyítanunk.
 
 

Megjegyzés. Látjuk, hogy az átlók merőlegessége kapcsolatban áll az oldalak négyzetösszegéből képezhető AB2-BC2+CD2-DA2 kifejezés 0-értékével. Eszerint a négy oldal és a két átló közti szög ‐ mint 5 adat ‐ nem független egymástól, együtt nem elég a négyszög meghatározására. Valóban, az ábra változatai mutatják, hogy több alak is lehetséges ugyanabból a négy szakaszból.