Feladat: F.2164 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bölcsföldi László ,  Erdős Erika 
Füzet: 1979/február, 64 - 65. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Műveletek helyvektorok koordinátáival, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/október: F.2164

Mutassuk meg, hogy ha sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0, akkor
tg3α=tg3β=tg3γ.(1)


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tekintsük a síkbeli derékszögű koordinátarendszerben a következő három helyvektort:

e1=(cosα,sinα)e2=(cosβ,sinβ)e3=(cosγ,sinγ)


A feltételek szerint e1+e2+e3=0 és |e1|=|e2|=|e3|=1. Tehát ha e vektorok kezdő-, ill. végpontjait egymáshoz fűzzük, szabályos háromszöget kapunk. Ezek szerint bármely kettő vagy 120-os vagy -120-os elforgatással vihető egymásba, azaz β=α±120+k360, γ=α120+l360 (k és l egészek). A háromszoros szögek különbsége tehát 360 többszöröse, így (1) valóban fennáll, mivel a tangens függvény 180-onként periodikus.
 

 Erdős Erika (Budapest, Könyves Kálmán Gimn., III. o. t.)
 

II. megoldás. Vizsgáljuk meg, milyen szögekre teljesülnek az egyenletek. A feltételek szerint
-sinγ=sinα+sinβ-cosγ=cosα+cosβ.
Ezek négyzetét összeadva kis átalakítás után:
1=2+2(sinαsinβ+cosαcosβ),cos(α-β)=-12.



Tehát α-β=±120+k360. Ebből már az I. megoldás alapján és a feltételek szimmetriája miatt következik (1).
 

 Bölcsföldi László (Székesfehérvár, Teleki B. Gimn., III. o. t.)
 

Megjegyzés. A megoldás voltaképpen többet bizonyít, hiszen 360 szerint minden szögfüggvény periodikus, tehát 3α, 3β és 3γ minden szögfüggvénye egyenlő. Sőt tg32α=tg32β=tg32γ, hiszen a 32-szeres szögek különbsége 180-nak többszöröse.