Kezdőlap


Feladat:	F.2164	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bölcsföldi László , Erdős Erika
Füzet:	1979/február, 64 - 65. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Műveletek helyvektorok koordinátáival, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/október: F.2164

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tekintsük a síkbeli derékszögű koordinátarendszerben a következő három helyvektort:

\begin{matrix} e_{1} = (cos α, sin α) \\ e_{2} = (cos β, sin β) \\ e_{3} = (cos γ, sin γ) \end{matrix}

A feltételek szerint

e_{1} + e_{2} + e_{3} = 0

és

| e_{1} | = | e_{2} | = | e_{3} | = 1

. Tehát ha e vektorok kezdő-, ill. végpontjait egymáshoz fűzzük, szabályos háromszöget kapunk. Ezek szerint bármely kettő vagy

120^{\circ}

-os vagy

- 120^{\circ}

-os elforgatással vihető egymásba, azaz

β = α \pm 120^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}

γ = α \mp 120^{\circ} + l \cdot 360^{\circ}

(

k

és

l

egészek). A háromszoros szögek különbsége tehát

360^{\circ}

többszöröse, így (1) valóban fennáll, mivel a tangens függvény

180^{\circ}

-onként periodikus.

Erdős Erika (Budapest, Könyves Kálmán Gimn., III. o. t.)

II. megoldás. Vizsgáljuk meg, milyen szögekre teljesülnek az egyenletek. A feltételek szerint

\begin{matrix} - sin γ & = sin α + sin β \\ - cos γ & = cos α + cos β . \end{matrix}

Ezek négyzetét összeadva kis átalakítás után:

\begin{matrix} 1 = 2 + 2 (sin α sin β + cos α cos β), \\ cos (α - β) = - \frac{1}{2} . \end{matrix}

Tehát

α - β = \pm 120^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}

. Ebből már az I. megoldás alapján és a feltételek szimmetriája miatt következik (1).

Bölcsföldi László (Székesfehérvár, Teleki B. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. A megoldás voltaképpen többet bizonyít, hiszen

360^{\circ}

szerint minden szögfüggvény periodikus, tehát

3 α

3 β

és

3 γ

minden szögfüggvénye egyenlő. Sőt

tg \frac{3}{2} α = tg \frac{3}{2} β = tg \frac{3}{2} γ

, hiszen a

\frac{3}{2}

-szeres szögek különbsége

180^{\circ}

-nak többszöröse.