Kezdőlap


Feladat:	F.2146	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartke I. , Becze I. , Bene Gy. , Blázsik Z. , Cseri I. , Csikós B. , Erdélyi T. , Fazekas G. , Fegyverneki S. , Gát Gy. , Hajnal P. , Holup Zsuzsa , Horváth M. , Kántor S. , Karakas J. , Kovács Z. , Lengvárszky Zs. , Lukács Erzsébet , Mala J. , Nagy G. , Oláh K. , Papp Zs. , Pirkó J. , Pósafalvi A. , Pyber L. , Ráth Gy. , Sali A. , Schwarcz P. , Seres I. , Szabó S. , Szalkai I. , Szekeres G. , Szendrei Gy. , Tálas Cs. , Varga G. , Varga J. , Varga Lívia , Winkler R. , Zádor L. , Zempléni A.
Füzet:	1979/január, 7 - 8. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sorozat határértéke, Konvergens sorok, Polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/április: F.2146

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az (1) bal oldalán álló összeg értékét $s_{n}$ -nel. Megmutatjuk hogy

\begin{matrix} {lim}_{n \to \infty}^{} s_{n} = \infty, {lim}_{n \to \infty}^{} \frac{s_{n}}{n} = 0. \end{matrix}

(2)

Ehhez először is megjegyezzük, hogy az

{s_{n}}

sorozat monoton nő, az

s_{n} / n

sorozat monoton csökken. Ez utóbbi azért igaz, mert

\begin{matrix} \frac{s_{n}}{n} - \frac{s_{n + 1}}{n + 1} = \frac{(n + 1) s_{n} - n (s_{n} + \frac{1}{n + 1})}{n (n + 1)} = \frac{s_{n} - \frac{n}{n + 1}}{n (n + 1)} > 0. \end{matrix}

Így elég bizonyítani, hogy az első sorozatnak tetszőlegesen nagy, a másodiknak tetszőlegesen kicsi tagja is van. Minden

k

természetes számra fennáll az

\begin{matrix} \frac{1}{2} < \frac{1}{2^{k} + 1} + \frac{1}{2^{k} + 2} + ... + \frac{1}{2^{k + 1}} < 1 \end{matrix}

egyenlőtlenség, hiszen a

2^{k}

darab összeadandó mindegyike

2^{- k - 1}

és

2^{- k}

közé esik. Így

s_{2^{k}}

-t

\begin{matrix} 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}) + ... + (\frac{1}{2^{k - 1} + 1} + ... + \frac{1}{2^{k}}) \end{matrix}

alakban írva kapjuk, hogy

\begin{matrix} 1 + \frac{1}{k} ≦ s_{2^{k}} < k + 1. \end{matrix}

Ebből annak alapján, hogy

(k + 1) / 2^{k}

tart nullához, kapjuk a (2) határértékeket.
A feladat állításának igazolásához tehát elég belátni, hogy nincsenek olyan

p (x)

és

q (x)

polinomok, melyekre egyszerre

\begin{matrix} {lim}_{n \to \infty}^{} \frac{p (n)}{q (n)} = \infty és {lim}_{n \to \infty}^{} \frac{p (n)}{n \cdot q (n)} = 0 \end{matrix}

is fennállna. Ugyanis ha

p

foka

α

és

q

foka

β

, akkor az első egyenlőség akkor és csak akkor áll, ha

α > β

és a két polinom kezdő együtthatóinak az előjele megegyezik. Az

x \cdot q (x)

polinom foka

β + 1

, így a második egyenlőség csak akkor áll, ha

α < β + 1

, ellentmondásban az

α > β

-val.