Feladat: F.2146 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bartke I. ,  Becze I. ,  Bene Gy. ,  Blázsik Z. ,  Cseri I. ,  Csikós B. ,  Erdélyi T. ,  Fazekas G. ,  Fegyverneki S. ,  Gát Gy. ,  Hajnal P. ,  Holup Zsuzsa ,  Horváth M. ,  Kántor S. ,  Karakas J. ,  Kovács Z. ,  Lengvárszky Zs. ,  Lukács Erzsébet ,  Mala J. ,  Nagy G. ,  Oláh K. ,  Papp Zs. ,  Pirkó J. ,  Pósafalvi A. ,  Pyber L. ,  Ráth Gy. ,  Sali A. ,  Schwarcz P. ,  Seres I. ,  Szabó S. ,  Szalkai I. ,  Szekeres G. ,  Szendrei Gy. ,  Tálas Cs. ,  Varga G. ,  Varga J. ,  Varga Lívia ,  Winkler R. ,  Zádor L. ,  Zempléni A. 
Füzet: 1979/január, 7 - 8. oldal  PDF file
Témakör(ök): Sorozat határértéke, Konvergens sorok, Polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/április: F.2146

Mutassuk meg, hogy nincsen olyan p(x) és q(x) polinom, hogy minden n természetes számra igaz legyen a következő összefüggés:
1+12+13+...+1n=p(n)q(n).(1)


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az (1) bal oldalán álló összeg értékét sn-nel. Megmutatjuk hogy

limnsn=,limnsnn=0.(2)
Ehhez először is megjegyezzük, hogy az {sn} sorozat monoton nő, az sn/n sorozat monoton csökken. Ez utóbbi azért igaz, mert
snn-sn+1n+1=(n+1)sn-n(sn+1n+1)n(n+1)=sn-nn+1n(n+1)>0.
Így elég bizonyítani, hogy az első sorozatnak tetszőlegesen nagy, a másodiknak tetszőlegesen kicsi tagja is van. Minden k természetes számra fennáll az
12<12k+1+12k+2+...+12k+1<1
egyenlőtlenség, hiszen a 2k darab összeadandó mindegyike 2-k-1 és 2-k közé esik. Így s2k-t
1+12+(13+14)+(15+16+17+18)+...+(12k-1+1+...+12k)
alakban írva kapjuk, hogy
1+1ks2k<k+1.
Ebből annak alapján, hogy (k+1)/2k tart nullához, kapjuk a (2) határértékeket.
A feladat állításának igazolásához tehát elég belátni, hogy nincsenek olyan p(x) és q(x) polinomok, melyekre egyszerre
limnp(n)q(n)=éslimnp(n)nq(n)=0
is fennállna. Ugyanis ha p foka α és q foka β, akkor az első egyenlőség akkor és csak akkor áll, ha α>β és a két polinom kezdő együtthatóinak az előjele megegyezik. Az xq(x) polinom foka β+1, így a második egyenlőség csak akkor áll, ha α<β+1, ellentmondásban az α>β-val.