Feladat: F.2086 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Czavalinga Péter ,  Ivanyos Gábor ,  Szabó József ,  Szabó Sándor 
Füzet: 1977/október, 65 - 66. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Nevező gyöktelenítése, Irracionális egyenlőtlenségek, Sorozat határértéke, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1977/március: F.2086

Igazoljuk, hogy ha n>3 egész szám, akkor
2n-1<1n+1.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

2n-1<1n+1.(1)
I. megoldás. Az an-1=(a-1)(an-1+...+a+1) összefüggést az a=2n számára alkalmazva (1)-ből a vele ekvivalens
an-l+an-2+...+a+1>n+1(2)
egyenlőtlenséget kapjuk, ezt fogjuk igazolni. Hagyjuk el mindkét oldalról az 1-et, és alkossunk párokat a bal oldalon álló számokból úgy, hogy az első és utolsó, második és utolsó előtti, általában a k-adik és (n-k)-adik kerüljön egy párba. Megmutatjuk, hogy a számok összege minden párban legalább 22, azaz
an-k+ak22.(3)
(Ha n páros, és k=n/2, a középső ,,pár'' csak egy számból áll, de az épp a 2.) Emiatt (2) bal oldalán legalább (n-1)2+1 áll, és ez n>3 mellett valóban nagyobb (n+1)-nél. Elég tehát (3)-at belátni. Ez viszont
(an2-k-1)20
alapján nyilvánvaló (ne feledjük, hogy a=2)n.
 

 Szabó József (Budapest, I. István Gimn., III. o. t.)
 

II. megoldás. Mivel 1,22=1,44>2, (1) igaz n=4 mellett:
24-1<15.(4)
Ha n>4, vegyünk (n-4) egyest, és négy 24-t. A számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség alapján
2n<n-4+424n.
Itt a jobb oldal (4) miatt kisebb, mint 1+45n, ami viszont n>4 miatt kisebb, mint 1+1n+1.
 

 Ivanyos Gábor (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)
 

III. megoldás. Azt mutatjuk meg, hogy
(1+1n+1)n>2,(5)
ha n>3. A binomiális tétel alapján a bal oldal értéke legalább
1+nn+1+n(n-1)2(n+1)2.
Mivel itt n>3 mellett n(n-1)>2(n+1), ez valóban nagyobb, mint 2.
 
 Czavalinga Péter (Hódmezővásárhely, Bethlen G. Gimn., III. o. t.)
 

Megjegyzés. Belátható, hogy az (5) bal oldalán álló sorozat n-ben monoton nő, és konvergens. Határértéke egy nevezetes szám, amit e-vel szokás jelölni, és értéke néhány tizedesre 2,718281829...
 

 Szabó Sándor (Budapest, Zrínyi I. Gimn., III. o. t.)