Feladat:	F.2086	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Czavalinga Péter ,  Ivanyos Gábor ,  Szabó József ,  Szabó Sándor
Füzet:	1977/október, 65 - 66. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevező gyöktelenítése, Irracionális egyenlőtlenségek, Sorozat határértéke, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/március: F.2086

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[n]{2}-1<\frac{1}{n+1}\mathrm{.}}\end{array}$ (1) I. megoldás. Az $a^n-1=\left(a-1\right)\left(a^{n-1}+\text{...}+a+1\right)$ összefüggést az $a=\sqrt[n]{2}$ számára alkalmazva (1)-ből a vele ekvivalens $\begin{array}{c}{\displaystyle a^{n-l}+a^{n-2}+\text{...}+a+1>n+1}\end{array}$ (2) egyenlőtlenséget kapjuk, ezt fogjuk igazolni. Hagyjuk el mindkét oldalról az 1-et, és alkossunk párokat a bal oldalon álló számokból úgy, hogy az első és utolsó, második és utolsó előtti, általában a $k$-adik és $\left(n-k\right)$-adik kerüljön egy párba. Megmutatjuk, hogy a számok összege minden párban legalább $2\sqrt[]{2}$, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle a^{n-k}+a^k\ge 2\sqrt[]{2}\mathrm{.}}\end{array}$ (3) (Ha $n$ páros, és $k=n/2$, a középső ,,pár'' csak egy számból áll, de az épp a $\sqrt[]{2}$.) Emiatt (2) bal oldalán legalább $\left(n-1\right)\sqrt[]{2}+1$ áll, és ez $n>3$ mellett valóban nagyobb $\left(n+1\right)$-nél. Elég tehát (3)-at belátni. Ez viszont $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(a^{\frac{n}{2}-k}-1\right)}^2\ge 0}\end{array}$ alapján nyilvánvaló (ne feledjük, hogy $a=\sqrt[n]{2)}$.    Szabó József (Budapest, I. István Gimn., III. o. t.)   II. megoldás. Mivel $1\mathrm{,}{2}^2=1\mathrm{,}44>\sqrt[]{2}$, (1) igaz $n=4$ mellett: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[4]{2}-1<\frac{1}{5}\mathrm{.}}\end{array}$ (4) Ha $n>4$, vegyünk $\left(n-4\right)$ egyest, és négy $\sqrt[4]{2}$-t. A számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[n]{2}<\frac{n-4+4\sqrt[4]{2}}{n}\mathrm{.}}\end{array}$ Itt a jobb oldal (4) miatt kisebb, mint $1+\frac{4}{5n}$, ami viszont $n>4$ miatt kisebb, mint $1+\frac{1}{n+1}$.    Ivanyos Gábor (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)   III. megoldás. Azt mutatjuk meg, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^n>\mathrm{2,}}\end{array}$ (5) ha $n>3$. A binomiális tétel alapján a bal oldal értéke legalább $\begin{array}{c}{\displaystyle 1+\frac{n}{n+1}+\frac{n\left(n-1\right)}{2{\left(n+1\right)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel itt $n>3$ mellett $n\left(n-1\right)>2\left(n+1\right)$, ez valóban nagyobb, mint 2.    Czavalinga Péter (Hódmezővásárhely, Bethlen G. Gimn., III. o. t.)   Megjegyzés. Belátható, hogy az (5) bal oldalán álló sorozat $n$-ben monoton nő, és konvergens. Határértéke egy nevezetes szám, amit $e$-vel szokás jelölni, és értéke néhány tizedesre $2\mathrm{,}718281829\text{...}$    Szabó Sándor (Budapest, Zrínyi I. Gimn., III. o. t.)