Feladat: F.2018 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1976/április, 161 - 162. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Szabályos sokszög alapú gúlák, Terület, felszín, Szögfüggvények a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/december: F.2018

Egy gúla alaplapja a konvex egyenlő oldalú ABCDE ötszög, az ezzel szemben fekvő M csúcsba befutó élek hossza egységnyi. Az MA oldalél merőleges az MCD oldallapra.
Mennyi a gúla térfogata és felszíne?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel M egyenlő távolságra van az alaplap mindegyik csúcsától, ezért ugyanez igaz M-nek az alaplapra eső O merőleges vetületére is. Így az alap ötszög köré kör írható, tehát szabályos ötszögről van szó, mert a körbe-írt egyenlő oldalú (konvex) idom szabályos.

 

 

Mivel MA merőleges az MCD lapra, azért merőleges e lap MF szimmetriatengelyére is, ahol F a CD él felezőpontja.
 

 

Az MAF derékszögű háromszögből meghatározhatjuk a továbbiakhoz szükséges OM=m, OF=ϱ, MF=b méreteket, legyen még OA=r és CD=a (az AF átfogó átmegy O-n, hiszen az ötszög szabályos). ϱ=OCcos36=rcos36,
AF=AM2AO=1r=r+ϱ=r(1+cos36),
innen
r=11+cos36,ϱ=cos361+cos36=5+125+5=121+55,
m=OM=OFOA=ϱr=rcos36=cos361+cos36=5+15+5=15,
hiszen cos36 feleakkora, mint a szabályos ötszög átlójának és oldalának 5+12 aránya.
 

 

Továbbá
b=m2+ϱ2=rcos36(1+cos36)=cos36=121+5,a=2rsin36=21-cos2361+cos36=21-cos36=3-5.



Mármost a gúla alapterülete és felszíne:
t=52aϱ=1450-105=1,31  ter. egys.,
illetve
F=t+52ab=542(5-1)=3,28  ter. egys.,
térfogata pedig
V=tm3=11210(5-1)=0,293  térf. egység.

 

Megjegyzés. Számos dolgozat beküldője bizonyítás nélkül használta fel, hogy az alaplap szabályos ötszög. Ezek nem teljes megoldások. A szerkesztő bizottság azért mellőzte a szabályos kimondását, hogy ne mondjon felesleges adatot, és hogy ennek bizonyítása is a megoldók feladata legyen.