Kezdőlap


Feladat:	F.2018	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1976/április, 161 - 162. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Szabályos sokszög alapú gúlák, Terület, felszín, Szögfüggvények a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/december: F.2018

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $M$ egyenlő távolságra van az alaplap mindegyik csúcsától, ezért ugyanez igaz $M$ -nek az alaplapra eső $O$ merőleges vetületére is. Így az alap ötszög köré kör írható, tehát szabályos ötszögről van szó, mert a körbe-írt egyenlő oldalú (konvex) idom szabályos.

Mivel

M A

merőleges az

M C D

lapra, azért merőleges e lap

M F

szimmetriatengelyére is, ahol

F

C D

él felezőpontja.

M A F

derékszögű háromszögből meghatározhatjuk a továbbiakhoz szükséges

O M = m

O F = ϱ

M F = b

méreteket, legyen még

O A = r

és

C D = a

(az

A F

átfogó átmegy

O

-n, hiszen az ötszög szabályos).

ϱ = O C cos 36^{\circ} = r cos 36^{\circ}

\begin{matrix} A F = \frac{A M^{2}}{A O} = \frac{1}{r} = r + ϱ = r (1 + cos 36^{\circ}), \end{matrix}

innen

\begin{matrix} r = \frac{1}{\sqrt[]{1 + cos 36^{\circ}}}, ϱ = \frac{cos 36^{\circ}}{\sqrt[]{1 + cos 36^{\circ}}} = \frac{\sqrt[]{5} + 1}{2 \sqrt[]{5 + \sqrt[]{5}}} = \frac{1}{2} \sqrt[]{1 + \frac{\sqrt[]{5}}{5}}, \end{matrix}

\begin{matrix} m = O M = \sqrt[]{O F \cdot O A} = \sqrt[]{ϱ r} = r \sqrt[]{cos 36^{\circ}} = \sqrt[]{\frac{cos 36^{\circ}}{1 + cos 36^{\circ}}} = \sqrt[]{\frac{\sqrt[]{5} + 1}{5 + \sqrt[]{5}}} = \sqrt[]{\frac{1}{\sqrt[]{5}}}, \end{matrix}

hiszen

cos 36^{\circ}

feleakkora, mint a szabályos ötszög átlójának és oldalának

\frac{\sqrt[]{5} + 1}{2}

aránya.

Továbbá

\begin{matrix} b = \sqrt[]{m^{2} + ϱ^{2}} = r \sqrt[]{cos 36^{\circ} (1 + cos 36^{\circ})} = \sqrt[]{cos 36^{\circ}} = \frac{1}{2} \sqrt[]{1 + \sqrt[]{5}}, \\ a = 2 r sin 36^{\circ} = \frac{2 \sqrt[]{1 - {cos}^{2} 36^{\circ}}}{\sqrt[]{1 + cos 36^{\circ}}} = 2 \sqrt[]{1 - cos 36^{\circ}} = \sqrt[]{3 - \sqrt[]{5}} . \end{matrix}

Mármost a gúla alapterülete és felszíne:

\begin{matrix} t = \frac{5}{2} a ϱ = \frac{1}{4} \sqrt[]{50 - 10 \sqrt[]{5}} = 1, 31 ter. egys., \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} F = t + \frac{5}{2} a b = \frac{5}{4} \sqrt[]{2 (\sqrt[]{5} - 1)} = 3, 28 ter. egys., \end{matrix}

térfogata pedig

\begin{matrix} V = \frac{t m}{3} = \frac{1}{12} \sqrt[]{10 (\sqrt[]{5} - 1)} = 0, 293 térf. egység. \end{matrix}

Megjegyzés. Számos dolgozat beküldője bizonyítás nélkül használta fel, hogy az alaplap szabályos ötszög. Ezek nem teljes megoldások. A szerkesztő bizottság azért mellőzte a szabályos kimondását, hogy ne mondjon felesleges adatot, és hogy ennek bizonyítása is a megoldók feladata legyen.