|
Feladat: |
F.1992 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Bezdek A. , Borsodi D. , Brindza B. , Dobos Gy. , Fehér J. , Gáti T. , Horváth I. , Jakab T. , Láng Gy. , Lévai L. , Major Z. , Nagy I. , Wolf Gy. , Zelhofer W. |
Füzet: |
1979/március,
102 - 103. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Tengelyes tükrözés, Magasságpont, Körülírt kör középpontja, Beírt kör középpontja, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1975/május: F.1992 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Könnyen látható, hogy egy tetszőleges háromszög szögfelezői a csúcsokat az , pontokkal összekötő szakaszok szögét is felezik, illetve tompaszög esetén a keletkező szög kiegészítő szögét (1. ábra). Emiatt a keresett háromszög , csúcsa csak olyan pont lehet, amelyre a , szögek belső vagy külső szögfelezője átmegy -n.
1. ábra
Jelöljük a , , , pontokon átmenő kört -val; mivel felezi a ívet, a kör minden pontjának megvan a , számára most mondott tulajdonsága. Ugyancsak megfelelnek a szakasz felező merőlegesének pontjai is. Más pont viszont nem jöhet szóba, mert tetszőleges, -tól különböző, de egyenlő szögekhez tartozó , feletti látószög - körívpár vagy -n, vagy a egyenesen metszi egymást. Emiatt , közül az egyik, mondjuk a -n, a másik pedig, a -n van (2. ábra).
2. ábra
Tükrözzük -t a egyenesre és jelöljük a kapott kört -gyel, ennek -mel alkotott második metszéspontját -lel, -n átmenő, -mel párhuzamos húrjának másik végpontját -nel. a -nak abban a tükrözésben is képe, amelynek centruma az szakasz felezőpontja, és ekkor képe . Tehát paralelogramma, pedig trapéz, és . Emiatt rajta van a keresett háromszög köré írható körön, és így nem más, mint -nek -re vonatkozó tükörképe. A , pontok tehát felező merőlegesén is rajta vannak ( a -vel való metszéspont). Jelöljük a felező merőlegest -val, -nak -ra vonatkozó tükörképét -vel. Mivel átmegy az , pontokon, és , azért középpontja rajta van az egyenesen, vagyis a , , körök középpontjai szabályos háromszöget határoznak meg, és a -nek is képe az egyenesre. Mérjük fel a ívet -ból felé is -ra, a kapott pont legyen . Így az tükörképe -re, egyszersmind képe a egyenesre. Így a háromszög is szabályos, és mivel , azért a -ban -hez tartozó középponti szög -os. Mivel az , egyenesek metszéspontja, csak középpontja lehet. Az háromszögben a -nél levő szög -os, a -nél levő szög -os, így -nál -os szög van. A háromszög köré írható kör egybevágó -val, és a csúcsok valóban egy szabályos 18-szög csúcsai közül valók.
Nagy Imre (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III. o. t.) |
|