Feladat: F.1992 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Bezdek A. ,  Borsodi D. ,  Brindza B. ,  Dobos Gy. ,  Fehér J. ,  Gáti T. ,  Horváth I. ,  Jakab T. ,  Láng Gy. ,  Lévai L. ,  Major Z. ,  Nagy I. ,  Wolf Gy. ,  Zelhofer W. 
Füzet: 1979/március, 102 - 103. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Magasságpont, Körülírt kör középpontja, Beírt kör középpontja, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/május: F.1992

Egy háromszögben a körülírt kör K középpontja, a beírt kör O középpontja és az M magasságpont által meghatározott kör átmegy a háromszög egyik csúcsán, A-n, és a (rövidebbik) KO, OM, MA körívek egyenlők egymással.
Bizonyítandó, hogy a háromszög csúcsai egy szabályos 18-szög csúcsai közül valók.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Könnyen látható, hogy egy tetszőleges háromszög szögfelezői a csúcsokat az M, K pontokkal összekötő szakaszok szögét is felezik, illetve tompaszög esetén a keletkező szög kiegészítő szögét (1. ábra). Emiatt a keresett háromszög B, C csúcsa csak olyan pont lehet, amelyre a KBM, KCM szögek belső vagy külső szögfelezője átmegy O-n.

 

 
1. ábra

 

Jelöljük a K, O, M, A pontokon átmenő kört k-val; mivel O felezi a KM ívet, a kör minden pontjának megvan a B, C számára most mondott tulajdonsága. Ugyancsak megfelelnek a KM szakasz t felező merőlegesének pontjai is. Más pont viszont nem jöhet szóba, mert tetszőleges, k-tól különböző, de egyenlő szögekhez tartozó KO, OM feletti látószög - körívpár vagy t-n, vagy a KM egyenesen metszi egymást. Emiatt B, C közül az egyik, mondjuk B a k-n, a másik pedig, C a t-n van (2. ábra).
 

 
2. ábra

 

Tükrözzük k-t a KM egyenesre és jelöljük a kapott kört k1-gyel, ennek AM-mel alkotott második metszéspontját L-lel, K-n átmenő, AM-mel párhuzamos húrjának másik végpontját N-nel. k1 a k-nak abban a tükrözésben is képe, amelynek centruma az MK szakasz felezőpontja, és ekkor A képe N. Tehát AKNM paralelogramma, KMLN pedig trapéz, és KL=NM=KA. Emiatt L rajta van a keresett háromszög köré írható körön, és így nem más, mint M-nek BC-re vonatkozó tükörképe.
A B, C pontok tehát ML felező merőlegesén is rajta vannak (C a t-vel való metszéspont). Jelöljük a felező merőlegest a-val, k-nak a-ra vonatkozó tükörképét k2-vel. Mivel k2 átmegy az L, B pontokon, és KL=KB, azért k2 középpontja rajta van az MK egyenesen, vagyis a k, k1, k2  körök középpontjai szabályos háromszöget határoznak meg, és k2 a k1-nek is képe az LN egyenesre.
Mérjük fel a KO ívet K-ból B felé is k-ra, a kapott pont legyen P. Így P az A tükörképe t-re, egyszersmind N képe a KM egyenesre. Így a KNP háromszög is szabályos, és mivel AMPB, azért a k-ban AM-hez tartozó középponti szög 20-os. Mivel C az a, t egyenesek metszéspontja, csak k1 középpontja lehet. Az ABC háromszögben a B-nél levő szög 40-os, a C-nél levő szög 60-os, így A-nál 80-os szög van. A háromszög köré írható kör egybevágó k-val, és a csúcsok valóban egy szabályos 18-szög csúcsai közül valók.
 

 Nagy Imre (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III. o. t.)