Feladat: F.1912 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Füzet: 1974/november, 127 - 128. oldal  PDF file
Témakör(ök): Logaritmusos egyenlőtlenségek, Egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1974/január: F.1912

Milyen x-ekre teljesül a következő egyenlőtlenség?
(logx3)(log3x3)log9x3.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(logx3)(log3x3)log9x3.(1)

Mivel a logaritmusfüggvény alapja csak 1-től különböző pozitív szám lehet, (1) eleve csak olyan x-re teljesülhet, amely mellett x, 3x, 9x ilyen, azaz
x>0,ésx1,x13,x19.(2)
A logaritmus definíciójából következik, hogy ha logab értelmezve van, és 0-tól különbözik, akkor logba is értelmezve van, és egyenlő az előbbi reciprokával. Ezt felhasználva, és az
y=log3x(3)
jelölést bevezetve kapjuk, hogy (1) ekvivalens az
1y(y+1)1y+2
egyenlőtlenséggel. Ebből rendezéssel az
(y-2)(y+2)y(y+1)(y+2)0(4)
egyenlőtlenséget kapjuk. A (4) bal oldalán álló tört akkor negatív, ha a tényezői között a negatívak száma páratlan, azaz a
-2,-2,-1,0,2
számok közül páratlan sok nagyobb y-nál. Így van ez, ha mind nagyobb y-nál: y<-2, vagy ha három nagyobb közülük y-nál: -2<y<1, és ha csak a legnagyobbikuk nagyobb y-nál: 0<y<2. Ezekhez még hozzá kell venni az y=±2 értékeket, ahol (4) bal oldala 0-val egyenlő, így kapjuk (4) összes megoldását:
y<-2;-2y<-1;0<y2.
Ebből (3) alapján kapjuk (1) megoldását:
0<x<3-2;3-2x<3-1;1<x32.
(Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, az eredményt nem kell ellenőrizni.)