Feladat:	F.1912	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/november, 127 - 128. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenlőtlenségek, Egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/január: F.1912

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(\text{log}{}_{x}3\right)\cdot \left(\text{log}{}_{3x}3\right)\ge \text{log}{}_{9x}3.}\end{array}$ (1) Mivel a logaritmusfüggvény alapja csak $1$-től különböző pozitív szám lehet, (1) eleve csak olyan $x$-re teljesülhet, amely mellett $x$, $3x$, $9x$ ilyen, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle x>\mathrm{0,}\text{és}x\ne \mathrm{1,}x\ne \frac{1}{3}\mathrm{,}x\ne \frac{1}{9}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) A logaritmus definíciójából következik, hogy ha $\text{log}{}_{a}b$ értelmezve van, és $0$-tól különbözik, akkor $\text{log}{}_{b}a$ is értelmezve van, és egyenlő az előbbi reciprokával. Ezt felhasználva, és az $\begin{array}{c}{\displaystyle y=\text{log}{}_{3}x}\end{array}$ (3) jelölést bevezetve kapjuk, hogy (1) ekvivalens az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{y\left(y+1\right)}\ge \frac{1}{y+2}}\end{array}$ egyenlőtlenséggel. Ebből rendezéssel az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\left(y-\sqrt[]{2}\right)\left(y+\sqrt[]{2}\right)}{y\left(y+1\right)\left(y+2\right)}\le 0}\end{array}$ (4) egyenlőtlenséget kapjuk. A (4) bal oldalán álló tört akkor negatív, ha a tényezői között a negatívak száma páratlan, azaz a $\begin{array}{c}{\displaystyle -\mathrm{2,}-\sqrt[]{2}\mathrm{,}-\mathrm{1,}\mathrm{0,}\sqrt[]{2}}\end{array}$ számok közül páratlan sok nagyobb $y$-nál. Így van ez, ha mind nagyobb $y$-nál: $y<-2$, vagy ha három nagyobb közülük $y$-nál: $-\sqrt[]{2}<y<1$, és ha csak a legnagyobbikuk nagyobb $y$-nál: $0<y<\sqrt[]{2}$. Ezekhez még hozzá kell venni az $y=\pm \sqrt[]{2}$ értékeket, ahol (4) bal oldala $0$-val egyenlő, így kapjuk (4) összes megoldását: $\begin{array}{c}{\displaystyle y<-2;-\sqrt[]{2}\le y<-1;0<y\le \sqrt[]{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből (3) alapján kapjuk (1) megoldását: $\begin{array}{c}{\displaystyle 0<x<3^{-2};3^{-\sqrt[]{2}}\le x<3^{-1};1<x\le 3^{\sqrt[]{2}}\mathrm{.}}\end{array}$ (Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, az eredményt nem kell ellenőrizni.)