Bizonyitsuk be, hogy tetszőleges háromszögben fennáll az alábbi egyenlőség, ahol , , a háromszög oldalainak a hosszát, , , rendre a velük szemben levő szögek nagyságát; , , , a megfelelő belső szögfelezők hosszát jelöli. | |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. | | (1) |
Az állítás jobb oldalán álló hányadosok egyszerűen kifejezhetők rendre a háromszög két-két oldalával. Húzzunk párhuzamost az háromszög -ból induló belső szögfelezőjével -n át és jelöljük a egyenessel való metszéspontját -vel.
A keletkezett szögpárokból tehát az háromszögben , , másrészt a és háromszögek hasonlósága alapján | | tehát (1) jobb oldalának első tagja | | Ebből a betűk ciklikus cseréjével kapjuk a jobb oldal további két tagját, és az állítás helyessége máris nyilvánvaló. Gáncs István (Győr, Révai M. Gimn.)
Megjegyzés. Tulajdonképpen a szögfelező hosszát fejeztük ki a háromszög legközvetlenebb meghatározó adataival: Ehhez a más megoldások a fentinél valamivel több trigonometriai vagy területszámítási összefüggést használtak föl.
|
|