Kezdőlap


Feladat:	F.1826	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gáncs István
Füzet:	1974/május, 194 - 195. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Háromszögek nevezetes tételei, Szögfelező egyenes, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/április: F.1826

Bizonyitsuk be, hogy tetszőleges háromszögben fennáll az alábbi egyenlőség, ahol

a

b

c

a háromszög oldalainak a hosszát,

α

β

γ

rendre a velük szemben levő szögek nagyságát;

f_{α}

f_{β}

f_{γ}

, a megfelelő belső szögfelezők hosszát jelöli.

\begin{matrix} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{cos \frac{α}{2}}{f_{α}} + \frac{cos \frac{β}{2}}{f_{β}} + \frac{cos \frac{γ}{2}}{f_{γ}} . \end{matrix}

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

\begin{matrix} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{cos \frac{α}{2}}{f_{α}} + \frac{cos \frac{β}{2}}{f_{β}} + \frac{cos \frac{γ}{2}}{f_{γ}} . \end{matrix}

(1)

Az állítás jobb oldalán álló hányadosok egyszerűen kifejezhetők rendre a háromszög két-két oldalával. Húzzunk párhuzamost az

A B C

háromszög

A

-ból induló

A D = f_{α}

belső szögfelezőjével

B

-n át és jelöljük a

C A

egyenessel való metszéspontját

E

-vel.

A keletkezett szögpárokból

\begin{matrix} A B E ∢ = B A D ∢ = C A D ∢ = A E B ∢, \end{matrix}

tehát az

A B E

háromszögben

A E = A B = c

B E = 2 A B