A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Könnyű látni a koordinátákból, hogy ugyanakkora távolságra van az origótól, mint és , tehát a körülírt kör egyenlete Jelöljük koordinátáit (, )-vel, -éit (, )-val, így (1) alapján
hiszen és koordinátái egyaránt kielégítik (1)-et.
Hasonlóan fejezhető ki és a és koordinátákkal, és így a vizsgálandó négyzetösszeg:
akkor és csak akkor minimális, ha az | | (2) | kifejezés értéke, ami a mi esetünkben , maximális, azzal a mellékföltétellel, hogy (, ) rajta van -n, azaz . Mármost az kifejezés értéke adott esetén az
egyenletű egyenes pontjaira állandó, és -t párhuzamosan eltolva csak értéke változik meg. Az egyenes átmegy az tengely pontján, és növelése egyértelmű azzal, hogy ez a pont fölfelé tolódik a tengelyen. értékét azonban csak addig növelhetjük, míg (3)-nak van közös pontja az (1) körrel és legnagyobb lehetséges értéke akkor adódik, ha a (3) egyenes érinti -t. A érintési pontot a kör középpontjából -re bocsátott merőleges metszi ki -ból. A merőleges egyenlete , ennek -val közös pontjai: és nyilvánvalóan a -ben veszi fel legnagyobb, () értékét, tehát (2) itt a legkisebb, ez a keresett pont. (-ben viszont maximális értéke.)
Megjegyzések. 1. A (2) kifejezés így írható: , ahol (, ) az háromszög súlypontjának koordinátái. Ebből az észrevételből a fentiekhez hasonlóan adódik, hogy bármely, a -ba beírt háromszög csúcsaira képezve az összeget, ez az sugár (félegyenes) által -ból kimetszett pontra lesz minimális értékű ‐ más szóval -nak az -hez legközelebbi pontjára ‐, az átellenes pontra pedig maximális. akkor és csak akkor azonos -val, ha az háromszög egyenlő oldalú, ebben az esetben a -n körülfutó -re állandó (akárcsak bármely páros oldalszámú szabályos sokszög esetében). Az egyenest a háromszög Euler‐féle egyenesének nevezik. Ismeretes, hogy ‐ ha létezik ‐ átmegy a magasságponton is, valamint a háromszög középháromszöge és egyben a talpponti háromszöge köré írt (Feuerbach‐féle) kör középpontján is. A fenti eredménnyel az Euler‐egyenesnek egy újabb tulajdonságát ismertük meg. 2. Az kifejezés számértéke arányos az , , tömegpontrendszer tehetetlenségi nyomatékával, a -n átmenő és síkjára merőleges forgástengelyre vonatkozóan, amennyiben , , mindegyikébe egyenlő tömeget helyezünk el. Eredményünk pedig a mechanika ún. Steiner‐tételének megfelelője: ha egy össztömegű pontrendszer tehetetlenségi nyomatéka egy, a rendszer súlypontján átmenő tengelyre , akkor, egy a -vel párhuzamos, tőle távolságban levő tengelyre , tehát a -re minimális, és akkor a legkisebb, ha -nak -hez legközelebbi pontján át vesszük fel -t. Erre a kapcsolatra több dolgozat helyesen rámutatott. Az viszont már nagy kerülő, ha a kérdést ezen az úton kívánjuk megválaszolni, hiszen az idézett tétel maga is matematikai meggondolások eredménye.
|