Feladat: F.1815 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1972/november, 143 - 145. oldal  PDF file
Témakör(ök): Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Kör egyenlete, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/március: F.1815

Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái A(5;0), B(0;5) és C(-4;-3). Határozzuk meg a háromszög köré írt körön azt a P pontot, amelyre a PA2+PB2+PC2 kifejezés értéke minimális.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Könnyű látni a koordinátákból, hogy C ugyanakkora távolságra van az O origótól, mint A és B, tehát a k körülírt kör egyenlete

x2+y2=25.(1)

Jelöljük P koordinátáit (u, v)-vel, A-éit (xA, yA)-val, így (1) alapján
PA2=(u-xA)2+(v-yA)2=(u2+v2)-2xAu-2yAv+(xA2+yA2)==225-2xAu-2yAv,


hiszen P és A koordinátái egyaránt kielégítik (1)-et.
 

 

Hasonlóan fejezhető ki PB2 és PC2 a B(xB,yB) és C(xC,yC) koordinátákkal, és így a vizsgálandó négyzetösszeg:
f(P)=150-2(xA+xB+xC)u-2(yA+yB+yC)v


akkor és csak akkor minimális, ha az
(xA+xB+xC)u+(yA+yB+yC)v(2)
kifejezés értéke, ami a mi esetünkben u+2v, maximális, azzal a mellékföltétellel, hogy (u, v) rajta van k-n, azaz u2+v2=25.
Mármost az u+2v kifejezés értéke adott c esetén az
x+2y=c,másképpen(3)y=-12x+c2
egyenletű e egyenes pontjaira állandó, és e-t párhuzamosan eltolva csak c értéke változik meg. Az egyenes átmegy az y tengely (0;c2) pontján, és c növelése egyértelmű azzal, hogy ez a pont fölfelé tolódik a tengelyen. c értékét azonban csak addig növelhetjük, míg (3)-nak van közös pontja az (1) körrel és c legnagyobb lehetséges értéke akkor adódik, ha a (3) egyenes érinti k-t. A T érintési pontot a kör középpontjából e-re bocsátott merőleges metszi ki k-ból. A merőleges egyenlete y=2x, ennek k-val közös pontjai:
T1(5,25),T2(-5,-25),
és u+2v nyilvánvalóan a T1-ben veszi fel legnagyobb, (c=55) értékét, tehát (2) itt a legkisebb, ez a keresett P pont. (T2-ben viszont maximális f(P)=f(T2) értéke.)
 

Megjegyzések. 1. A (2) kifejezés így írható: 3xSu+3ySv, ahol (xS, yS) az ABC háromszög S súlypontjának koordinátái. Ebből az észrevételből a fentiekhez hasonlóan adódik, hogy bármely, a k-ba beírt ABC háromszög csúcsaira képezve az f(P)=PA2+PB2+PC2 összeget, ez az OS sugár (félegyenes) által k-ból kimetszett P pontra lesz minimális értékű ‐ más szóval k-nak az S-hez legközelebbi P pontjára ‐, az átellenes pontra pedig maximális. S akkor és csak akkor azonos O-val, ha az ABC háromszög egyenlő oldalú, ebben az esetben a k-n körülfutó P-re f(P) állandó (akárcsak bármely páros oldalszámú szabályos sokszög esetében).
Az OS egyenest a háromszög Euler‐féle egyenesének nevezik. Ismeretes, hogy ‐ ha létezik ‐ átmegy a magasságponton is, valamint a háromszög középháromszöge és egyben a talpponti háromszöge köré írt (Feuerbach‐féle) kör középpontján is. A fenti eredménnyel az Euler‐egyenesnek egy újabb tulajdonságát ismertük meg.
2. Az f(P) kifejezés számértéke arányos az A, B, C tömegpontrendszer tehetetlenségi nyomatékával, a P-n átmenő és k síkjára merőleges forgástengelyre vonatkozóan, amennyiben A, B, C mindegyikébe egyenlő tömeget helyezünk el. Eredményünk pedig a mechanika ún. Steiner‐tételének megfelelője: ha egy M össztömegű pontrendszer tehetetlenségi nyomatéka egy, a rendszer S súlypontján átmenő t tengelyre K0, akkor, egy a t-vel párhuzamos, tőle d távolságban levő t' tengelyre K=K0+Md2, tehát K a t-re minimális, és d akkor a legkisebb, ha k-nak S-hez legközelebbi pontján át vesszük fel t'-t.
Erre a kapcsolatra több dolgozat helyesen rámutatott. Az viszont már nagy kerülő, ha a kérdést ezen az úton kívánjuk megválaszolni, hiszen az idézett tétel maga is matematikai meggondolások eredménye.