Feladat: F.1805 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Turán György 
Füzet: 1972/szeptember, 12 - 13. oldal  PDF file
Témakör(ök): Alakzatba írt kör, Súlypont, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/január: F.1805

Egy háromszög oldalai 5, 10, 13 egységnyi hosszúak. Igazoljuk, hogy súlypontja rajta van a beírt kör kerületén.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Betűzzük úgy a háromszög csúcsait, hogy legyen AB=5, BC=10, ekkor CA=13. Elég azt belátni, hogy a k beírt kör egy kiszemelt súlyvonalat a kiindulási csúcsától távolabbi harmadoló pontjában metsz át. Válasszuk e célra az A-ból induló AD súlyvonalat, mert így a keletkezett BAD háromszög egyenlő szárú, és k középpontja rajta van ennek szimmetriatengelyén, tehát az AD alapot k két, e tengelyre szimmetrikus pontban metszi.

 

 

Legyen e két metszéspont G és H úgy, hogy AG<AH, és legyen  AG=DH=u  és  GH=v;  így azt akarjuk belátni, hogy  u=v.
k-nak AB-n levő érintési pontját E-vel jelölve ismert összefüggésekből
AE=12(AB+AC-BC)=4  egység,
eszerint az ismert AGAH=AE2 összefüggésből
u(u+v)=16.(1)
Másrészt a súlyvonalra ismert összefüggésből
AD2=14(2AB2+2AC2-BC2)=72=262,tehát
AD=AG+GD=u+(u+v)=62.
Ezt (1)-gyel egybevetve látjuk, hogy u és (u+v) az
x2-62x+16=0
egyenlet gyökei. Éspedig v0 alapján u a kisebbik gyöke: u=22=AD/3=HD, tehát H valóban a súlypont. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
 

Turán György (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. A beírt körnek a súlyponton való áthaladását biztosító föltétellel általában foglalkozott lapunk 1966. évi pályázata.* Azt találták a pályázók, hogy a kérdéses tulajdonságnak szükséges és elegendő föltétele az oldalak közti
5(a2+b2+c2)=6(ab+ac+bc)
egyenlőség. Ez esetünkben is teljesül. Megadta továbbá a pályázat mindazokat az egész oldalú háromszögeket, amelyeknek megvan ez a tulajdonsága:
a=[(u-v2)2+v2]t,b=[(u+v2)2+v2]t,c=u2+v22t,
ahol u, v páratlan, egymáshoz relatív prím természetes számok és t tetszés szerinti természetes szám. Esetünket u=5,v=1,t=1 adja meg.
2. A szóban forgó háromszög alakjával foglalkozott az F. 1638. feladat is.*
3. A beküldők többnyire koordinátageometriai bizonyítást adtak.

*Fred Ervin-Bakos Tibor-Tusnádi Gábor: Jelentés a K. M. L. 32. kötetének 5. számában közzétett pályázatáról. K. M. L. 34 (1967) 205‐212.

*Lásd a megoldást a K. M. L. 39 (1969) 109‐110.