Kezdőlap


Feladat:	F.1791	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1972/szeptember, 7 - 8. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sorozat határértéke, Rekurzív eljárások, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/november: F.1791

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szorozzuk (1)-et ${(n + 1)}^{2}$ -nel:

\begin{matrix} {(n + 1)}^{2} c_{n + 1} = n^{2} c_{n} + 6 n . \end{matrix}

Eszerint a

c_{n}

sorozat alapján a természetes számokon értelmezett

\begin{matrix} f (n) = n^{2} c_{n} \end{matrix}

(2)

függvényre

\begin{matrix} f (n + 1) - f (n) = 6 n \end{matrix}

(3)

teljesül. (3) megadja az

f

függvénynek a szomszédos természetes számokhoz tartozó növekményeit, vagyis azokat az értékeket, amelyekkel a függvény értéke megnövekszik, ha egy természetes számról áttérünk az 1-gyel nagyobbra. Mivel az 1-ből kiindulva lépésről lépésre bármely természetes számhoz eljuthatunk,

f (n)

értékét megkapjuk, ha az

f (1) = 0

függvényértékhez hozzáadjuk az 1 és

n

helyek között fellépő növekmények összegét:

\begin{matrix} f (n) = f (1) + [f (2) - f (1)] + [f (3) - f (2)] + ... + f [(n) - f (n - 1)] = \\ 0 + 6 \cdot 1 + 6 \cdot 2 + ... + 6 (n - 1) = 6 \frac{n (n - 1)}{2} = 3 n (n - 1) . \end{matrix}

Ebből (2) alapján

\begin{matrix} c_{n} = \frac{f (n)}{n^{2}} = 3 - \frac{3}{n} \end{matrix}

következik. Legyen mármost

ε

tetszés szerinti pozitív szám, ekkor a konvergencia ismert

\begin{matrix} | c_{n} - 3 | = \frac{3}{n} < ε \end{matrix}

követelménye teljesül minden olyan

n

indexre, amelyre

\begin{matrix} n > [\frac{3}{ε}], \end{matrix}

ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.