Feladat: F.1791 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1972/szeptember, 7 - 8. oldal  PDF file
Témakör(ök): Sorozat határértéke, Rekurzív eljárások, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/november: F.1791

A c1,c2,...,cn,... sorozatról tudjuk, hogy c1=0 és n=1,2,... esetén
cn+1=(nn+1)2cn+6n(n+1)2.(1)
Bizonyítsuk be, hogy a sorozat határértéke 3.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szorozzuk (1)-et (n+1)2-nel:

(n+1)2cn+1=n2cn+6n.
Eszerint a cn sorozat alapján a természetes számokon értelmezett
f(n)=n2cn(2)
függvényre
f(n+1)-f(n)=6n(3)
teljesül. (3) megadja az f függvénynek a szomszédos természetes számokhoz tartozó növekményeit, vagyis azokat az értékeket, amelyekkel a függvény értéke megnövekszik, ha egy természetes számról áttérünk az 1-gyel nagyobbra. Mivel az 1-ből kiindulva lépésről lépésre bármely természetes számhoz eljuthatunk, f(n) értékét megkapjuk, ha az f(1)=0 függvényértékhez hozzáadjuk az 1 és n helyek között fellépő növekmények összegét:
f(n)=f(1)+[f(2)-f(1)]+[f(3)-f(2)]+...+f[(n)-f(n-1)]=0+61+62+...+6(n-1)=6n(n-1)2=3n(n-1).


Ebből (2) alapján
cn=f(n)n2=3-3n
következik. Legyen mármost ε tetszés szerinti pozitív szám, ekkor a konvergencia ismert
|cn-3|=3n<ε
követelménye teljesül minden olyan n indexre, amelyre
n>[3ε],
ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.