Kezdőlap


Feladat:	F.1767	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1971/október, 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Számelmélet alaptétele, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/április: F.1767

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Figyeljük meg inkább először csak azt, hogy egyetlen $a^{3}$ köbszám 9-cel osztva milyen $m$ maradékot ad, mondjuk $a$ kezdeti értékeire:

\begin{matrix} \begin{matrix} a = & 0, & 1, & 2, & 3, & 4, & 5, \\ a^{3} = & 0, & 1, & 8, & 27, & 64, & 125, \\ m = & 0, & 1, & 8, & 0, & 1, & 8. \end{matrix} \end{matrix}

Azt tapasztaljuk, hogy a maradékok hármanként ciklikusan ismétlődnek, vagyis

m

értéke csak attól függ, hogy

a

3-mal osztva mennyi maradékot ad. Valóban ha

a = 3 b + c

, akkor

\begin{matrix} a^{3} = 27 b^{3} + 27 b^{2} c + 9 b c^{2} + c^{3} = 9 d + c^{3} . \end{matrix}

(Természetesen

b, c

, és

d

is egészek és

0 \leq c < 3

miatt

0 \leq c^{3} < 9

.) Tehát ha

a

3-mal osztva

c

maradékot ad, akkor

a^{3}

9-cel osztva

c^{3}

maradékot ad. Egy szám 3-mal osztva 0, 1, vagy 2 maradékot ad, egy köbszám tehát 9-cel osztva 0, 1 vagy 8 maradékot ad.
Ez utóbbi megállapításunkat célszerűbb úgy kimondani, hogy egy

a^{3}

köbszámhoz mindig találhatunk olyan 9-cel osztható

A

számot, hogy e két szám különbségének abszolút értéke legfeljebb egy:

\begin{matrix} | a^{3} - A | \leq 1. \end{matrix}

Ennek alapján három köbszám

a_{1}^{3} + a_{2}^{3} + a_{3}^{3}

összegéhez mindig található olyan 9-cel osztható

A

szám, hogy e két szám eltérése legfeljebb 3:

\begin{matrix} | a_{1}^{3} + a_{2}^{3} + a_{3}^{3} - A | \leq 3, \end{matrix}

hiszen

A

választható az

a_{1}^{3}

a_{2}^{3}

a_{3}^{3}

számokhoz tartozó

A_{1}

A_{2}

A_{3}

számok összegének.
Ha tehát egy szám 9-cel osztva 4-et vagy 5-öt ad maradékul (márpedig ilyen szám végtelen sok van), akkor az a szám nem állítható elő három köbszám összegeként.

Megjegyzés. Feltehető a kérdés, mi adta az ötletet Péternek a 9-es osztó ajánlására. Valószínűleg az, hogy észrevette a 9-cel való osztáskor a maradékok 3-as periódusát, amit a táblázat is mutat. Viszont a kérdés általánosításában óvatosságot ajánlunk.¹

¹A kérdéskörbe bepillantást kap az olvasó a következő helyeken: Erdős Pál ‐ Surányi János: Válogatott fejezetek a számelméletből. Tankönyvkiadó, Budapest, 1960. A Waring-féle problémakörről 183‐187. old.
Hajós György ‐ Neukomm Gyula ‐ Surányi János: Matematikai Versenytételek. II. rész. 2. kiadás, Tankönyvkiadó, 1965. 63. oldal.