Feladat: F.1767 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1971/október, 54. oldal  PDF file
Témakör(ök): Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Számelmélet alaptétele, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/április: F.1767

Jancsi a következő feladatot kapta: Bizonyítsd be, hogy végtelen sok olyan egész szám van, amely nem írható fel három teljes köbszám összegeként. Miután hiába próbálkozott a megoldással, tanácsot kért barátjától, Pétertől. Péter ezt javasolta: Figyeld meg, hogy három köbszám összege 9-cel osztva milyen maradékot adhat.
Oldjuk meg mi is Péter tanácsa alapján Jancsi feladatát.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Figyeljük meg inkább először csak azt, hogy egyetlen a3 köbszám 9-cel osztva milyen m maradékot ad, mondjuk a kezdeti értékeire:

a=0,1,2,3,4,5,a3=0,1,8,27,64,125,m=0,1,8,0,1,8.
Azt tapasztaljuk, hogy a maradékok hármanként ciklikusan ismétlődnek, vagyis m értéke csak attól függ, hogy a 3-mal osztva mennyi maradékot ad. Valóban ha a=3b+c, akkor
a3=27b3+27b2c+9bc2+c3=9d+c3.

(Természetesen b,c, és d is egészek és 0c<3 miatt 0c3<9.) Tehát ha a 3-mal osztva c maradékot ad, akkor a3 9-cel osztva c3 maradékot ad. Egy szám 3-mal osztva 0, 1, vagy 2 maradékot ad, egy köbszám tehát 9-cel osztva 0, 1 vagy 8 maradékot ad.
Ez utóbbi megállapításunkat célszerűbb úgy kimondani, hogy egy a3 köbszámhoz mindig találhatunk olyan 9-cel osztható A számot, hogy e két szám különbségének abszolút értéke legfeljebb egy:
|a3-A|1.

Ennek alapján három köbszám a13+a23+a33 összegéhez mindig található olyan 9-cel osztható A szám, hogy e két szám eltérése legfeljebb 3:
|a13+a23+a33-A|3,
hiszen A választható az a13, a23, a33 számokhoz tartozó A1, A2, A3 számok összegének.
Ha tehát egy szám 9-cel osztva 4-et vagy 5-öt ad maradékul (márpedig ilyen szám végtelen sok van), akkor az a szám nem állítható elő három köbszám összegeként.
 

Megjegyzés. Feltehető a kérdés, mi adta az ötletet Péternek a 9-es osztó ajánlására. Valószínűleg az, hogy észrevette a 9-cel való osztáskor a maradékok 3-as periódusát, amit a táblázat is mutat. Viszont a kérdés általánosításában óvatosságot ajánlunk.1
1A kérdéskörbe bepillantást kap az olvasó a következő helyeken: Erdős Pál ‐ Surányi János: Válogatott fejezetek a számelméletből. Tankönyvkiadó, Budapest, 1960. A Waring-féle problémakörről 183‐187. old.
Hajós György ‐ Neukomm Gyula ‐ Surányi János: Matematikai Versenytételek. II. rész. 2. kiadás, Tankönyvkiadó, 1965. 63. oldal.