Feladat: F.1760 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1972/február, 62 - 63. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egészrész, törtrész függvények, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Térgeometria alapjai, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/február: F.1760

Egy henger alakú, zárható edény átmérője 82, hosszúsága 225 egység. Hány db 38 egységnyi átmérőjű gömböt lehet benne elhelyezni, és ezután az edényt lezárni?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A henger tengelyét függőlegesre állítjuk úgy, hogy a nyílás fönt legyen. A 2R=82 egységnyi átmérő nyilvánvalóan az edény belső átmérőjének tekintendő. Az edény fenekére éppen befér 3 gömb úgy, hogy O1, O2, O3 középpontjaik egy S1 vízszintes síkban legyenek. Ugyanis úgy állítva őket, hogy páronként érintsék egymást, az O1O2O3 háromszög mindegyik oldala egyenlő a gömbök 2r átmérőjével, a háromszög köré írt k1 kör r1 sugara 2/3 része a háromszög r3 magasságának. Annak az ezzel koncentrikus, legkisebb körnek a R* sugara pedig, amely magába zárja a 3 gömb S1-be eső, egymást páronként érintő főkörét, r1+r, azaz

R*=r(233+1)=r3(2+3)=r2,1547,
és r=19 esetén R*=40,94 egység, kisebb a tartály R=41 sugaránál. A csekély (0,2%-nál kisebb) eltérésre tekintettel a továbbiakban a henger átmérőjét csak 2R*-nak tekintjük.
Nyilvánvalóan az eddigi rétegnek föléje illeszthető egy újabb ilyen, 3 gömbből álló réteg úgy, hogy az 1‐1 felső és alsó középpontot összekötő O4O1, O5O2, O6O3 egyenesek függőlegesek, az O4O5O6 sík 2r magasságban van S1 fölött, hiszen így mindegyik új gömb egyet érint az alsók közül, támaszkodik rá. Ha viszont az új réteget addig forgatjuk, míg az O4 közepű gömb az O2 közepűt is érinti, akkor az új középpontok S2 síkja mélyebbre kerül, és várhatóan több gömböt tehetünk a hengerbe. Ekkor O4-nek S1-en levő O4* vetülete az O1O2 szakasz felező merőlegesén lesz, hiszen az O4O1=O4O2=2r szakaszok vetületei is egyenlők, másrészt O4* az edény falától r távolságban, vagyis a k1-en lesz. Így O4*O2=r1, tehát az S1, S2 síkok magasságkülönbsége az O4O2O4* derékszögű háromszögből :
d=(2r)2-r12=r83(=1,6330r=31,027 egység).
 

 

A további rétegeket ugyanígy illesztve egymás fölé, a legfelső (az n-edik) rétegbeli 3 gömbközéppont Sn síkja legföljebb m-r magasságban lehet, ahol m a henger (belső) magassága, különben az edény nem zárható le. Így az első réteget követő rétegek száma annyi, mint az (m-2r): d hányados egész része :
n-1=[m-2rd]=[18731,027]=6,
tehát az edényben 73=21 db mindenesetre elhelyezhető gömbjeink közül.
 

Megjegyzések. 1. Nem kapunk jobb elhelyezést, ha az első három gömböt úgy lazítjuk, hogy érintsék a henger falát. Ekkor az egyes rétegek ugyan lejjebb kerülnek, de (amint az némi számítással ellenőrizhető) így is csak hét réteg fér el a hengerben. Természetesen ha a henger igen magas lenne, ezt a kis módosítást is célszerű volna figyelembe venni.
2. Elhelyezhetnénk a gömböket úgy is, hogy két, 3‐3 gömböt tartalmazó gyűrű közé egy (mind a 6 gömböt érintő) gömböt teszünk. Ehhez azonban annyira meg kellene növelnünk a gyűrűk távolságát, hogy végül is kevesebb gömb férne a hengerbe.
3. Feladatunk "Hány gömböt lehet elhelyezni ?'' kérdését megoldásunkban így értelmeztük : "Helyezzünk el a hengerben lehetőleg sokat az adott gömbökből.'' Eszerint elfogadható megoldás volna, ha a második gyűrűt nem forgatnánk el úgy, hogy beékelődjön az első gyűrű hézagaiba, és csak 15 gömböt helyeznénk el. Persze a "lehetőleg sokat'' kérés szerint ezt a megoldást kisebb értékűnek tekinthetjük, mint a fenti megoldást. Nem sokat növel megoldásunk értékén az a körülmény, hogy azt sejtjük, 21-nél több gömböt nem lehet elhelyezni a hengerben. Lényeges többlet ennek bizonyítása volna, ezt azonban a megoldásunk a fenti megjegyzésekkel együtt sem tartalmazza. Ez a bizonyítás túllépné lapunk kereteit, versenyzőinktől sem vártuk annak megadását. (Itt jegyezzük meg, hogy nem tartanánk helyesnek, ha mindig teljesen egyértelműen megfogalmaznánk, mit tekintünk az egyes feladatok teljes megoldásának. Megoldóinkat arra is nevelni szeretnénk, maguk döntsék el, mit kell az egyes helyzetekben tenniük: úgy érezzük, ezzel közelebb hozzuk gondolkodásukat a gyakorlatban, a hétköznapi életben felmerülő problémákhoz.)