Kezdőlap


Feladat:	F.1760	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1972/február, 62 - 63. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egészrész, törtrész függvények, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Térgeometria alapjai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/február: F.1760

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A henger tengelyét függőlegesre állítjuk úgy, hogy a nyílás fönt legyen. A $2 R = 82$ egységnyi átmérő nyilvánvalóan az edény belső átmérőjének tekintendő. Az edény fenekére éppen befér 3 gömb úgy, hogy $O_{1}$ , $O_{2}$ , $O_{3}$ középpontjaik egy $S_{1}$ vízszintes síkban legyenek. Ugyanis úgy állítva őket, hogy páronként érintsék egymást, az $O_{1} O_{2} O_{3}$ háromszög mindegyik oldala egyenlő a gömbök $2 r$ átmérőjével, a háromszög köré írt $k_{1}$ kör $r_{1}$ sugara $2 / 3$ része a háromszög $r \sqrt[]{3}$ magasságának. Annak az ezzel koncentrikus, legkisebb körnek a $R^{*}$ sugara pedig, amely magába zárja a 3 gömb $S_{1}$ -be eső, egymást páronként érintő főkörét, $r_{1} + r$ , azaz

\begin{matrix} R^{*} = r (\frac{2}{3} \sqrt[]{3} + 1) = \frac{r}{\sqrt[]{3}} (2 + \sqrt[]{3}) = r \cdot 2, 1547, \end{matrix}

és

r = 19

esetén

R^{*} = 40, 94

egység, kisebb a tartály

R = 41

sugaránál. A csekély (

0, 2 %

-nál kisebb) eltérésre tekintettel a továbbiakban a henger átmérőjét csak

2 R^{*}

-nak tekintjük.
Nyilvánvalóan az eddigi rétegnek föléje illeszthető egy újabb ilyen, 3 gömbből álló réteg úgy, hogy az 1‐1 felső és alsó középpontot összekötő

O_{4} O_{1}

O_{5} O_{2}

O_{6} O_{3}

egyenesek függőlegesek, az

O_{4} O_{5} O_{6}

sík

2 r

magasságban van

S_{1}

fölött, hiszen így mindegyik új gömb egyet érint az alsók közül, támaszkodik rá. Ha viszont az új réteget addig forgatjuk, míg az

O_{4}

közepű gömb az

O_{2}

közepűt is érinti, akkor az új középpontok

S_{2}

síkja mélyebbre kerül, és várhatóan több gömböt tehetünk a hengerbe. Ekkor

O_{4}

-nek

S_{1}

-en levő

O_{4}^{*}

vetülete az

O_{1} O_{2}

szakasz felező merőlegesén lesz, hiszen az

O_{4} O_{1} = O_{4} O_{2} = 2 r

szakaszok vetületei is egyenlők, másrészt

O_{4}^{*}

az edény falától

r

távolságban, vagyis a

k_{1}

-en lesz. Így

O_{4}^{*} O_{2} = r_{1}

, tehát az

S_{1}

S_{2}

síkok magasságkülönbsége az

O_{4} O_{2} O_{4}^{*}

derékszögű háromszögből :

\begin{matrix} d = \sqrt[]{{(2 r)}^{2} - r_{1}^{2}} = r \sqrt[]{\frac{8}{3}} (= 1, 6330 r = 31, 027 egység) . \end{matrix}

A további rétegeket ugyanígy illesztve egymás fölé, a legfelső (az

n

-edik) rétegbeli 3 gömbközéppont

S_{n}

síkja legföljebb

m - r

magasságban lehet, ahol

m

a henger (belső) magassága, különben az edény nem zárható le. Így az első réteget követő rétegek száma annyi, mint az

(m - 2 r)

d

hányados egész része :

\begin{matrix} n - 1 = [\frac{m - 2 r}{d}] = [\frac{187}{31, 027}] = 6, \end{matrix}

tehát az edényben

7 \cdot 3 = 21

db mindenesetre elhelyezhető gömbjeink közül.

Megjegyzések. 1. Nem kapunk jobb elhelyezést, ha az első három gömböt úgy lazítjuk, hogy érintsék a henger falát. Ekkor az egyes rétegek ugyan lejjebb kerülnek, de (amint az némi számítással ellenőrizhető) így is csak hét réteg fér el a hengerben. Természetesen ha a henger igen magas lenne, ezt a kis módosítást is célszerű volna figyelembe venni.
2. Elhelyezhetnénk a gömböket úgy is, hogy két, 3‐3 gömböt tartalmazó gyűrű közé egy (mind a 6 gömböt érintő) gömböt teszünk. Ehhez azonban annyira meg kellene növelnünk a gyűrűk távolságát, hogy végül is kevesebb gömb férne a hengerbe.
3. Feladatunk "Hány gömböt lehet elhelyezni ?'' kérdését megoldásunkban így értelmeztük : "Helyezzünk el a hengerben lehetőleg sokat az adott gömbökből.'' Eszerint elfogadható megoldás volna, ha a második gyűrűt nem forgatnánk el úgy, hogy beékelődjön az első gyűrű hézagaiba, és csak 15 gömböt helyeznénk el. Persze a "lehetőleg sokat'' kérés szerint ezt a megoldást kisebb értékűnek tekinthetjük, mint a fenti megoldást. Nem sokat növel megoldásunk értékén az a körülmény, hogy azt sejtjük, 21-nél több gömböt nem lehet elhelyezni a hengerben. Lényeges többlet ennek bizonyítása volna, ezt azonban a megoldásunk a fenti megjegyzésekkel együtt sem tartalmazza. Ez a bizonyítás túllépné lapunk kereteit, versenyzőinktől sem vártuk annak megadását. (Itt jegyezzük meg, hogy nem tartanánk helyesnek, ha mindig teljesen egyértelműen megfogalmaznánk, mit tekintünk az egyes feladatok teljes megoldásának. Megoldóinkat arra is nevelni szeretnénk, maguk döntsék el, mit kell az egyes helyzetekben tenniük: úgy érezzük, ezzel közelebb hozzuk gondolkodásukat a gyakorlatban, a hétköznapi életben felmerülő problémákhoz.)